Obim jednakokrakog trougla – probni prijemni ETF 2017. • MATEMANIJA
Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Obim jednakokrakog trougla – probni prijemni ETF 2017.

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Moderator: Corba248

  • +1

Obim jednakokrakog trougla – probni prijemni ETF 2017.

Postod kazinski » Ponedeljak, 11. Jun 2018, 22:56

Probni prijemni ispit ETF - 10. jun 2017.
10. zadatak


U jednakokraki trougao čiji je jedan unutrašnji ugao [inlmath]120^\circ[/inlmath], upisan je krug poluprečnika [inlmath]3\text{ cm}[/inlmath]. Obim tog trougla (u [inlmath]\text{cm}[/inlmath]) jednak je: [inlmath]2\left(12+7\sqrt3\right)\text{cm}[/inlmath]

Screenshot_4.png
Screenshot_4.png (8.33 KiB) Pogledano 104 puta

Poznato nam je [inlmath]r[/inlmath] i ugao od [inlmath]15^\circ[/inlmath], što znači da možemo izračunati [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath].

Prvo nađemo [inlmath]\sin[/inlmath] i [inlmath]\cos[/inlmath] ugla od [inlmath]15^\circ[/inlmath]:
[dispmath]\sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt2\left(\sqrt3-1\right)}{4}\\
\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt2\left(\sqrt3+1\right)}{4}[/dispmath] Sada se vraćamo na osnovu trigonometrije:
[dispmath]\sin15^\circ=\frac{r}{\overline{OB}}\;\Longrightarrow\;\overline{OB}=\frac{r}{\sin15^\circ}\;\Longrightarrow\;\overline{OB}=3\sqrt2\left(\sqrt3+1\right)\\
\cos15^\circ=\frac{\frac{a}{2}}{\overline{OB}}\;\Longrightarrow\;\frac{a}{2}=\cos15^\circ\cdot\overline{OB}\;\Longrightarrow\;\frac{a}{2}=3\left(2+\sqrt3\right)\;\Longrightarrow\;a=6\left(2+\sqrt3\right)[/dispmath] Iskoristit ćemo sinusnu teoremu:
[dispmath]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}\;\Longrightarrow\;b=\frac{a\cdot\sin\beta}{\sin\alpha}\;\Longrightarrow\;b=6+4\sqrt3[/dispmath] Obim jednakokrakog trougla: [inlmath]O=a+2b[/inlmath]
[dispmath]O=a+2b=12+6\sqrt3+12+8\sqrt3\;\Longrightarrow\;O=2\left(12+7\sqrt3\right)\text{cm}[/dispmath]
Korisnikov avatar
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 17 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Obim jednakokrakog trougla – probni prijemni ETF 2017.

Postod Daniel » Sreda, 13. Jun 2018, 16:31

Evo još nekoliko (po meni, nešto jednostavnijih) načina:

Preko tangensa dvostrukog ugla:
[dispmath]\text{tg }15^\circ=\frac{r}{\frac{a}{2}}=\frac{6}{a}\\
\frac{1}{\sqrt3}=\text{tg }30^\circ=\frac{2\text{ tg }15^\circ}{1-\text{tg}^215^\circ}=\frac{\frac{12}{a}}{1-\frac{36}{a^2}}\\
\vdots\\
a^2-12\sqrt3a-36=0\\
\vdots\\
a=6\left(2+\sqrt3\right)[/dispmath] Radi nalaženja veze između stranica [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] može se, i bez primene trigonometrije, uočiti da „leva“ polovina ovog jednakokrakog trougla (trougao [inlmath]\triangle ABA_1[/inlmath] na slici) predstavlja polovinu jednakostraničnog trougla čija je stranica [inlmath]b[/inlmath], a visina [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath]:

jednakokraki trougao.png
jednakokraki trougao.png (1.19 KiB) Pogledano 84 puta

A odatle je
[dispmath]\frac{a}{\cancel2}=\frac{b\sqrt3}{\cancel2}\quad\Longrightarrow\quad b=\frac{a}{\sqrt3}=6+4\sqrt3\\
O=a+2b=\cdots[/dispmath]


Preko površine trougla, izražene preko poluprečnika opisane i upisane kružnice:
[dispmath]P=\frac{ab^2}{4R}=r\left(\frac{a}{2}+b\right)[/dispmath] Iz sinusne teoreme je [inlmath]2R=\frac{a}{\sin120^\circ}=\frac{2a}{\sqrt3}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\cancel ab^2}{\frac{4\cancel a}{\sqrt3}}=3\left(\frac{a}{2}+b\right)\quad\Longrightarrow\quad b^2\sqrt3=6(a+2b)[/dispmath] Na isti način kao što sam gore pokazao, posmatrajući polovinu jednakostraničnog trougla, dobija se [inlmath]a=b\sqrt3[/inlmath], i uvrštavanjem u prethodni izraz, dobijamo
[dispmath]b^{\cancel2}\sqrt3=6(\cancel b\sqrt3+2\cancel b)\quad\Longrightarrow\quad b=6+4\sqrt3\\
a=b\sqrt3=\cdots,\quad O=a+2b=\cdots[/dispmath]


Uočavanjem manjeg trougla:

jednakokraki trougao - slicnost.png
jednakokraki trougao - slicnost.png (1.34 KiB) Pogledano 84 puta

Posmatramo trougao [inlmath]\triangle AOP[/inlmath], koji predstavlja polovinu jednakostraničnog trougla stranice [inlmath]AO[/inlmath] a visine [inlmath]r[/inlmath]:
[dispmath]r=3=\frac{AO\sqrt3}{2}=\frac{(AA_1-3)\sqrt3}{2}[/dispmath] Posmatrajući trougao [inlmath]\triangle ABA_1[/inlmath], koji takođe predstavlja polovinu jednakostraničnog trougla, dobija se da je [inlmath]AA_1[/inlmath] jednako polovini stranice [inlmath]b[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\left(\frac{b}{2}-3\right)\sqrt3}{2}=3\quad\Longrightarrow\quad\cdots\quad\Longrightarrow\quad b=6+4\sqrt3\\
a=b\sqrt3=\cdots,\quad O=a+2b=\cdots[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7234
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3755 puta
Pohvaljen: 3926 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 16. Avgust 2018, 12:44 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs