Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Moderator: Corba248

Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

Postod DaKažem » Subota, 03. Avgust 2019, 12:32

Prijemni ispit ETF – 24. jun 2019.
18. zadatak


Ne mogu da verujem da niko ne pita za 18. zadatak sa prijemnog ispita iz matematike na ETF-u 2019.
Evo, ja pitam.

[inlmath]18.[/inlmath] Ako su [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath], [inlmath]\alpha\ge\beta\ge\gamma[/inlmath], uglovi trougla i ako je [inlmath]\sin\alpha−\sin\beta+\sin\gamma=1[/inlmath], onda je ugao [inlmath]\gamma[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;60^\circ\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;20^\circ\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;15^\circ\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;30^\circ\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{(E)}\;45^\circ\qquad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

Hvala!
Poslednji put menjao Daniel dana Subota, 03. Avgust 2019, 13:25, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika; dopuna naziva teme – tačka 9. Pravilnika; dodavanje linka ka zadatku
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

Postod Daniel » Subota, 03. Avgust 2019, 13:25

Pozdrav, zamoliću te da pročitaš Pravilnik foruma, radi budućih postova. U ovom postu nisi ispoštovao tačke 6, 9. i 13, mada sam ti sada kao novom korisniku progledao kroz prste.

Ovaj zadatak se radi vrlo jednostavno, bez ijedne jedine trigonometrijske formule. Sve što je potrebno to je da uočiš implikaciju [inlmath]\alpha\ge\beta\ge\gamma\;\Longrightarrow\;\sin\alpha\ge\sin\beta\ge\sin\gamma[/inlmath] (koja sledi iz sinusne teoreme), kao i ograničenost sinusne funkcije.
Ovo bi trebalo da ti dâ ideju.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7778
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

Re: Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

Postod DaKažem » Sreda, 07. Avgust 2019, 09:53

Hvala na ukazanim propustima, potrudiću se da ih ne činim više.
Moram priznati da me uputstvo koje sam dobio nije odvelo do rešenja zadatka. Ono što sam dobio (iz sinusne teoreme) je relacija [inlmath]a-b+c=2R[/inlmath] (tj. [inlmath]s-b=R[/inlmath]) što dalje ima svoju geometrijsku interpretaciju, ali ne verujem da put do rešenja ide tuda ili korišćenjem formula za transformaciju zbir (razlike) u proizvod [inlmath]\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{4}[/inlmath].
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

Postod Daniel » Sreda, 07. Avgust 2019, 22:12

Kao što rekoh, nije ti potrebno ništa od trigonometrijskih formula (a pogotovo ne tako složene formule kao što je transformacija zbira/razlike u proizvod). Iz sinusne teoreme jedino što treba da zaključiš to je ono što sam već i napisao, da je [inlmath]\sin\alpha\ge\sin\beta\ge\sin\gamma[/inlmath].
Datu jednačinu, kad [inlmath]\sin\beta[/inlmath] i [inlmath]\sin\gamma[/inlmath] pređu na desnu stranu, možeš napisati kao [inlmath]\sin\alpha=1+\sin\beta-\sin\gamma[/inlmath]. Imajući u vidu ograničenost siunusne funkcije, koji opseg vrednosti može imati leva strana ovako napisane jednačine? A imajući u vidu [inlmath]\sin\beta\ge\sin\gamma[/inlmath] (što smo, dakle, zaključili iz sinusne teoreme), koji opseg vrednosti može imati desna strana? Nakon što odgovoriš na ova dva jednostavna pitanja, već će [inlmath]90\%[/inlmath] zadatka biti urađeno. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7778
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

  • +1

Re: Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

Postod DaKažem » Četvrtak, 08. Avgust 2019, 12:04

Da, da, sad vidim.
[dispmath]\sin\alpha-\sin\beta+\sin\gamma=1\;\Longrightarrow\;\sin\alpha=1+\sin\beta-\sin\gamma[/dispmath] Kako su [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath] uglovi trougla, to je
[dispmath]\sin\alpha\in(0,1],\hspace{5mm}\sin\beta\in(0,1],\hspace{5mm}\sin\gamma\in(0,1][/dispmath] što znači da je i desna strana u istom opsegu tj.
[dispmath]0<1+\sin\beta-\sin\gamma\leq1\\
-1<\sin\beta-\sin\gamma\leq0[/dispmath] Kako je [inlmath]\beta\geq\gamma\;\Longrightarrow\;\sin\beta\geq\sin\gamma[/inlmath] i [inlmath]\sin\beta\in(0,1],\;\sin\gamma\in(0,1][/inlmath] sledi da je
[dispmath]\sin\beta-\sin\gamma\geq0[/dispmath] Iz prethodnih nejednakosti dobija se da važi
[dispmath]\sin\beta-\sin\gamma=0\;\Longrightarrow\;\sin\beta=\sin\gamma\;\Longrightarrow\;\beta=\gamma[/dispmath] Sa druge strane iz
[dispmath]\sin\alpha=1+\sin\beta-\sin\gamma[/dispmath] sledi da je
[dispmath]\sin\alpha=1\;\Longrightarrow\;\alpha=90^\circ[/dispmath] Sada je
[dispmath]\beta+\gamma=90^\circ\;\land\;\beta=\gamma\;\Longrightarrow\;\beta=\gamma=45^\circ[/dispmath] Nadam se da je to to.
Hvala na dobrim instrukcijama.
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

Postod Daniel » Četvrtak, 08. Avgust 2019, 12:23

Jeste, to je to. Alternativni način bi bio uočiti da je leva strana [inlmath]\le1[/inlmath] a da je desna [inlmath]\ge1[/inlmath], odakle sledi da obe strane moraju biti [inlmath]1[/inlmath]. Pa je odatle [inlmath]\sin\alpha=1[/inlmath] i [inlmath]\sin\beta=\sin\gamma[/inlmath], tj. [inlmath]\alpha=90^\circ[/inlmath] i [inlmath]\beta=\gamma[/inlmath]. A odatle je, naravno, [inlmath]\beta=\gamma=45^\circ[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7778
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

Re: Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

Postod DaKažem » Petak, 09. Avgust 2019, 08:57

Još jednom hvala, pre svega na brzim odgovorima.
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 7 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 12. Decembar 2019, 11:33 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs