Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Tangens polovine ugla

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Tangens polovine ugla

Postod Frank » Sreda, 22. Januar 2020, 22:10

Zadatak glasi:
Dokazati identitet:[dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}[/dispmath]
Ako krenemo od desne strane imamo:[dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \frac{2\alpha}{2}}{\sin \frac{2\alpha}{2}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cancel{\cos^2\frac{\alpha}{2}}-\cancel{\cos^2\frac{\alpha}{2}}+\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\frac{\cancel{2}\sin^{\cancel{2}}\frac{\alpha}{2}}{\cancel{2}\cancel{\sin \frac{\alpha}{2}}\cos\frac{\alpha}{2}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}}[/dispmath]
Medjutim ako krenemo od leve strane imamo:[dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\pm\sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}{(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)^2}{1-\cos^2\alpha}}=\pm\sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-\cos^2\alpha}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha}}=\pm\frac{|1-\cos\alpha|}{|\sin\alpha|}[/dispmath]Brojilac je sigurno nenegativan (zbog ogranicenosti sinusne/kosinusne funkcije), ali to ne vazi i za imenilac:[dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\pm\frac{1-\cos\alpha}{|\sin\alpha|}[/dispmath]S obzirom da se ugao [inlmath]\alpha[/inlmath] moze naci u bilo kojem kvadrantu, ne znam kako da se oslobom apsolutnih zagrada u imeniocu.
Mozda postoji neki drugi nacin da se od leve strane dodje do desne.
Frank   ONLINE
 
Postovi: 304
Zahvalio se: 143 puta
Pohvaljen: 193 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Tangens polovine ugla

Postod Daniel » Četvrtak, 23. Januar 2020, 10:07

Prvo, ja nikako ne volim pisati [inlmath]\displaystyle\text{tg }\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}[/inlmath], jer bi se to moglo protumačiti kao da tangens ima obe vrednosti, s plusem i minusom. A pošto tangens može imati samo jednu od te dve vrednosti (zavisno od intervala u kome se nalazi ugao), smatram da bi tačniji zapis bio [inlmath]\displaystyle\left|\text{tg }\frac{\alpha}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}[/inlmath].

Dakle, došao si do [inlmath]\displaystyle\left|\text{tg }\frac{\alpha}{2}\right|=\frac{1-\cos\alpha}{|\sin\alpha|}[/inlmath]. Apsolutnih zagrada se oslobađamo tako što posmatramo intervale u kojima je [inlmath]\displaystyle\text{tg }\frac{\alpha}{2}[/inlmath] pozitivno i u kojima je negativno, kao i intervale u kojima je [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] pozitivno i u kojima je negativno. Pokazaće se da, kada je [inlmath]\displaystyle\text{tg }\frac{\alpha}{2}[/inlmath] pozitivno, tada je i [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] pozitivno (u intervalu [inlmath]\alpha\in(2k\pi,\;\pi+2k\pi)[/inlmath]), tako da tada jednostavno brišemo apsolutne zagrade. Isto tako, kada je [inlmath]\displaystyle\text{tg }\frac{\alpha}{2}[/inlmath] negativno, tada je i [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] negativno (u intervalu [inlmath]\alpha\in(\pi+2k\pi,\;2(k+1)\pi)[/inlmath]), tako da tada pri oslobađanju od apsolutnih zagrada pišemo minus na levoj i minus na desnoj strani, minusi se krate i opet dobijamo istu jednakost kao i u slučaju pozitivnih vrednosti.

Svakako je elegantniji način transformisati desnu stranu (BTW prilikom transformacije desne strane može se odmah upotrebiti identitet [inlmath]\displaystyle1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}[/inlmath], koji direktno sledi iz formule za sinus polovine ugla).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 8309
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4422 puta
Pohvaljen: 4426 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 11. Jul 2020, 23:14 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs