Zadatak glasi:
Dokazati identitet:[dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}[/dispmath]
Ako krenemo od desne strane imamo:[dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \frac{2\alpha}{2}}{\sin \frac{2\alpha}{2}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cancel{\cos^2\frac{\alpha}{2}}-\cancel{\cos^2\frac{\alpha}{2}}+\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\frac{\cancel{2}\sin^{\cancel{2}}\frac{\alpha}{2}}{\cancel{2}\cancel{\sin \frac{\alpha}{2}}\cos\frac{\alpha}{2}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}}[/dispmath]
Medjutim ako krenemo od leve strane imamo:[dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\pm\sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}{(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)^2}{1-\cos^2\alpha}}=\pm\sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-\cos^2\alpha}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha}}=\pm\frac{|1-\cos\alpha|}{|\sin\alpha|}[/dispmath]Brojilac je sigurno nenegativan (zbog ogranicenosti sinusne/kosinusne funkcije), ali to ne vazi i za imenilac:[dispmath]\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}=\pm\frac{1-\cos\alpha}{|\sin\alpha|}[/dispmath]S obzirom da se ugao [inlmath]\alpha[/inlmath] moze naci u bilo kojem kvadrantu, ne znam kako da se oslobom apsolutnih zagrada u imeniocu.
Mozda postoji neki drugi nacin da se od leve strane dodje do desne.