Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

Postod Daniel » Petak, 01. Jul 2016, 00:15

Prijemni ispit ETF - 27. jun 2016.
20. zadatak


Ukupan broj realnih rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\cos x+\cos2x+2\cos^2\frac{3x}{2}+\cos4x=\frac{1}{2}[/inlmath] na segmentu [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath] jednak je:
Rezultat glasi: [inlmath]8[/inlmath]

Dosta ljudi me pitalo za ovaj zadatak, koji je kanda bio jedan od najvećih kamena spoticanja na ovogodišnjem prijemnom za ETF. Pa haj'mo da ga rešimo.

Ovaj kvadrat kosinusa nas odmah na početku nekako „vuče“ da ga napišemo preko formule za kosinus polovine ugla, [inlmath]2\cos^2\frac{\alpha}{2}=1+\cos\alpha[/inlmath]:
[dispmath]2\cos^2\frac{3x}{2}=1+\cos3x[/dispmath]
te naša jednačina postaje
[dispmath]\cos x+\cos2x+1+\cos3x+\cos4x=\frac{1}{2}[/dispmath]
Malo to pregrupišemo,
[dispmath]\cos x+\cos3x+\underbrace{\cos2x+\cos4x}+\frac{1}{2}=0[/dispmath]
Na ovo [inlmath]\cos2x+\cos4x[/inlmath] primenimo transformaciju zbira kosinusa u proizvod, [inlmath]\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}[/inlmath]:
[dispmath]\cos x+\cos3x+2\cos3x\cos x+\frac{1}{2}=0[/dispmath]
pa sad grupišemo sabirke koji sadrže [inlmath]\cos x[/inlmath] i sabirke koji ne sadrže [inlmath]\cos x[/inlmath]:
[dispmath]\cos x+2\cos3x\cos x+\cos3x+\frac{1}{2}=0\\
\cos x\left(1+2\cos3x\right)+\frac{1}{2}\left(2\cos3x+1\right)=0[/dispmath]
Izvučemo zajednički faktor [inlmath]\left(1+2\cos3x\right)[/inlmath],
[dispmath]\left(1+2\cos3x\right)\left(\cos x+\frac{1}{2}\right)=0\\
\cos3x=-\frac{1}{2}\quad\lor\quad\cos x=-\frac{1}{2}\\
\vdots[/dispmath]
Dalje je lako...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8463
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4517 puta
Pohvaljen: 4504 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

Postod Daniel » Ponedeljak, 02. Jul 2018, 15:05

Nakon što se došlo do koraka [inlmath]\cos x+\cos2x+\cos3x+\cos4x+\frac{1}{2}=0[/inlmath], tu jednačinu je moguće rešiti na još jedan zanimljiv način, za koji je uputstvo dato u ovoj temi.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8463
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4517 puta
Pohvaljen: 4504 puta

Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

Postod Griezzmiha » Ponedeljak, 06. Jul 2020, 18:57

* MOD EDIT * Spojene dve teme s istim zadatkom

Znam da ima vec nekoliko stranica vezanih za ovaj zadatak...Ja ga sredih nekako drugacije od svih ponudjenih stranica. Ne znam jesam li negde pogresio eventualno, ali u svakom slucaju evo mog postupka i koraka gde sam zapeo.
[dispmath]\cos x+\cos2x+2\cos^2\frac{3x}{2}+\cos4x=\frac{1}{2}[/dispmath] I opseg [inlmath][0;2\pi][/inlmath]
Zatim sam lagano sredio [inlmath]\cos2x=\cos^2x-\sin^2x[/inlmath] pa ce biti...
[dispmath]\cos x+\cos^2x-\sin^2x+2\cos\frac{3x}{2}+\cos4x=\frac{1}{2}[/dispmath] Onda sredim [inlmath]\sin^2x=1-\cos^2x[/inlmath] pa ce zapravo [inlmath]\cos2x[/inlmath] biti [inlmath]2\cos^2x-1[/inlmath]... Pa to i zapisem u celom izrazu
[dispmath]\cos x+2\cos^2x-1+2\cos^2\frac{3x}{2}+\cos4x=\frac{1}{2}[/dispmath] Onda individualno sredjujem i [inlmath]2\cos^2\frac{3x}{2}[/inlmath]...

Formulom za polovinu ugla dobijam sledece [inlmath]1+\cos3x[/inlmath]...

Onda sredjujem i [inlmath]\cos4x[/inlmath]...
[dispmath]\cos 4x=\cos^22x-\sin^22x=\left(\cos^2x-\sin^2x\right)^2-\left(1-\cos^22x\right)=\\
=\left(\cos^2x-\left(1-\cos^2x\right)\right)^2-\left(1-\cos^22x\right)=\left(\cos^2x-1+\cos^2x\right)^2-\left(1-\left(\cos^2x-\sin^2x\right)^2\right)=\\
=\left(2\cos^2x-1\right)^2-\left(1-\left(\cos^2x-\left(1-\cos^2x\right)\right)^2\right)=\left(2\cos^2x-1\right)^2-\left(1-\left(\cos^2x-1+\cos^2x\right)^2\right)=\\
=\left(2\cos^2x-1\right)^2-\left(1-\left(2\cos^2x-1\right)^2\right)=\\
=\left(2\cos^2x-1\right)^2-1+\left(2\cos^2x-1\right)^2=2\cdot\left(2\cos^2x-1\right)^2-1[/dispmath] pa je i ta transformacija gotova... Pa ce biti
[dispmath]\cos x+2\cos^2x-1+1+\cos3x+2\cdot\left(2\cos^2x-1\right)^2-1=\frac{1}{2}[/dispmath] Zatim...
[dispmath]\cos x+2\cos^2x+\cos3x+2\cdot\left(2\cos^2x-1\right)^2-1=\frac{1}{2}[/dispmath] Zatim sredjujem izraz [inlmath]2\cdot\left(2\cos^2x-1\right)^2[/inlmath] pa je to jednako [inlmath]2\cdot\left(4\cos^4x-4\cos^2x+1\right)=8\cos^4x-8\cos^2x+2[/inlmath].......... I naravno [inlmath]\cos3x=4\cos^3x-3\cos x[/inlmath]

Nakon svega bice..
[dispmath]4\cos^3x+2\cos^2x-2\cos x+8\cos^4x-8\cos^2x+2-1=\frac{1}{2}[/dispmath] Odnosno
[dispmath]8\cos^4x+4\cos^3x-6\cos^2x-2\cos x+1=\frac{1}{2}[/dispmath] Dobijam ovaj izraz koji nemam pojma kako bih uradio, nije konkretno problem vezan za trigonometriju vec uopste resavanje jednacina cetvrtog stepena.. Zaista nemam ideju kako bih... :unsure:
 
Postovi: 82
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

Postod Srdjan01 » Ponedeljak, 06. Jul 2020, 19:07

Pozdrav, zadatak se nalazi ovdje :)
Korisnikov avatar
 
Postovi: 84
Zahvalio se: 30 puta
Pohvaljen: 53 puta

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

Postod Griezzmiha » Ponedeljak, 06. Jul 2020, 19:45

Znam da se postupak, i verovatno laksi nacin za resavanje nalazi na linku koji si prosledio... Video sam tu objavu, ali ipak mi je nekako bilo ociglednije da ceo pocetni izraz razvucem na nacin koji sam pokazao... Zanima me valja li ovo sto sam radio, posto vidim da se ovaj postupak ne nalazi nigde na forumu...
 
Postovi: 82
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

Postod Daniel » Ponedeljak, 06. Jul 2020, 20:58

Postupak ti jeste dobar u smislu da nema grešaka, a ako je tvoje pitanje da li je sama ideja dobra, odgovor na to je upravo činjenica da si dobio jednačinu četvrtog stepena s kojom ne znaš šta ćeš. :)

I, hajde da se dogovorimo da ne dupliramo isti zadatak na različitim temama.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8463
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4517 puta
Pohvaljen: 4504 puta

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

Postod Griezzmiha » Ponedeljak, 06. Jul 2020, 21:09

Daniel je napisao:I, hajde da se dogovorimo da ne dupliramo isti zadatak na različitim temama.

Vazi se, nema problema, izvinjavam se.

Pretpostavljam da se nekako jednacina cetvrtog stepena moze resiti, znam da se radi faktorizacija i izraz predstavi preko dve zagrade (mada se slabo snalazim sa tim)... Nevezano za ovaj zadatak, ali i radi njega svakako, znatizeljan sam. Kako bi je resio? Kubna se ako se ne varam resava na osnovu deljivosti slobodnog clana [inlmath]a_0[/inlmath] ali za jednacinu cetvrtog stepena stvarno nemam pojma.
 
Postovi: 82
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

Postod Daniel » Utorak, 07. Jul 2020, 08:17

Sve te metode „napipavanja“, nezavisno od toga kog je stepena jednačina, padaju u vodu ako nemaš nijedno celobrojno rešenje, kao što je ovde slučaj.

Iz ranijih postova ove teme vidi se da nijedno rešenje ove jednačine po [inlmath]\cos x[/inlmath] nije celobrojno.

Jednačine do četvrtog stepena se, doduše, mogu rešiti analitički, ali je formula za njihovo rešavanje još komplikovanija od formule za rešavanje jednačine trećeg stepena.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8463
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4517 puta
Pohvaljen: 4504 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 10 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 01. Decembar 2020, 22:12 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs