Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijska jednačina

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Trigonometrijska jednačina

Postod Acim » Nedelja, 20. Decembar 2020, 20:27

Pozdrav,
Imam pitanje u vezi jedne trig. jednačine iz fonove zbirke;
[dispmath]\sin^2x+\sin^22x=1[/dispmath] na intervalu [inlmath]\left(0,2\pi\right)[/inlmath]

Pre nego što navedem de sam "zapeo" da razložim kako sam je rešavao (rešavao sam samo jedan deo iz razloga što mi se nešto nije poklapalo)
[inlmath]1[/inlmath] sam zapisao kao [inlmath]\sin^2x+\cos^2x[/inlmath] i jednačina dobija oblik;
[dispmath]\sin^2x+\sin^22x=\sin^2x+\cos^2x[/dispmath] [inlmath]\sin^22x[/inlmath] sam zapisao kao [inlmath]\left(2\sin x\cos x\right)^2[/inlmath]
Kada se jednačina sredi i faktoriše dobija se ovaj oblik;
[dispmath]\cos^2x\left(4\sin^2x-1\right)=0[/dispmath] Prva jednačina me je i zbunila tj. [inlmath]\cos^2x=0[/inlmath]
Rešenje je kada je za tu j-nu [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]
E sad, pošto je zadat interval, radio sam kako mi je neko od članova pokazivao;
[dispmath]0<\frac{\pi}{2}+k\pi<2\pi[/dispmath] Kada se to podeli sa [inlmath]\pi[/inlmath] i reši dvostruka nejednačina dobija se da [inlmath]k[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath], a kako je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj, ispada da on pripada intervalu [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath], ali ne mogu koristiti nijednu od tih vrednosti jer je interval otvoren, a jednačina bi imala sigurno rešenje kada bi [inlmath]k[/inlmath] bilo [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath], pa mi nije jasno gde sam napravio propust.
Hvala unapred na izdvojenom vremenu za objašnjenje.
Poslednji put menjao miletrans dana Nedelja, 20. Decembar 2020, 22:13, izmenjena samo jedanput
Razlog: korekcija LaTex-a (\sin x umesto sin x)
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 56
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Frank » Nedelja, 20. Decembar 2020, 20:50

Pozdrav!
Acim je napisao:Kada se to podeli sa [inlmath]\pi[/inlmath] i reši dvostruka nejednačina dobija se da [inlmath]k[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath], a kako je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj, ispada da on pripada intervalu [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath]

Ovde si se zbunio. [inlmath]k[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath] (kako si i sam dobio). Pošto [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath] zaključujemo da [inlmath]k[/inlmath] može biti [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], tj. [inlmath]k=\{0,1\}[/inlmath] (a ne [inlmath](0,1)[/inlmath], kako si ti napisao). Budi oprezan kada koristiš zagrade, tj. koju vrstu zagrada koristiš, upravo su te one zbunile u ovom zadatku.
Oble zagrade koristimo pri zapisivanju intervala (i to otvorenih), a vitičaste kada nabrajamo elemente nekog skupa.
Frank   ONLINE
 
Postovi: 391
Zahvalio se: 201 puta
Pohvaljen: 246 puta

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Acim » Nedelja, 20. Decembar 2020, 21:18

To sam i ja na prvu loptu mislio, ali sam se onda setio primera sa fona 2019. godine trig. jednačine, kod koje se nisu uzimale vrednosti [inlmath]k[/inlmath] baš zbog te obične zagrade;
[dispmath]2\cos x\cos2x=\cos x-\frac{1}{2}[/dispmath] na intervalu [inlmath]\left[-\frac{8\pi}{9},\frac{8\pi}{9}\right)[/inlmath]
E sad, da skratim pošto treba samo da razjasnim interval. Bio je ovaj primer rešavan u jednoj temi, ali ne znam još uvek kako da linkujem pa da postavim ovde.
Uglavnom jedno rešenje je bilo [inlmath]x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath]
I sad, po istom postupku se dobija (kad se podeli sa [inlmath]\pi[/inlmath]);
[dispmath]\frac{-8}{9}\le\frac{2+6k}{9}<\frac{8}{9}[/dispmath] Iz čega sledi da je [inlmath]k[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left[\frac{-5}{3},1\right)[/inlmath]
Iz ovoga ispada da [inlmath]k[/inlmath] može da bude [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath], ali ne i [inlmath]1[/inlmath] baš zbog obične zagrade a i kad se ta vrednost ubaci u početnu jednačinu vidimo da ne zadovoljava interval.
Pa me to i buni jer kod ove prethodne jednačine taj moj način ispostavio da je greška, dok kod ove navedene ispada da je moj način tačan.
Poslednji put menjao miletrans dana Nedelja, 20. Decembar 2020, 22:16, izmenjena samo jedanput
Razlog: korekcija LaTex-a (\sin x umesto sin x)
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 56
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Frank » Nedelja, 20. Decembar 2020, 21:34

Cela priča se svodi na sledeće:
U prvom zadatku (zadatak s početka teme) se traže celi brojevi u intervalu [inlmath]\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath], a to su [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Prema tome [inlmath]k=\{0,1\}[/inlmath]
U drugom zadatku (zadatak iz prethodnog posta) se traže celi brojevi u intervalu [inlmath]\left[\frac{-5}{3},1\right)[/inlmath], a to su [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath]. Prema tome [inlmath]k=\{-1,0\}[/inlmath]
Koji ti tačno deo nije jasan ovde? Slobodno reci, vrlo rado 'ću objasniti.
Frank   ONLINE
 
Postovi: 391
Zahvalio se: 201 puta
Pohvaljen: 246 puta

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Acim » Nedelja, 20. Decembar 2020, 21:52

Konkretno me kod 1. zadatka buni što su bile svuda obične zagrade a opet smo uvažavali vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] ([inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]), dok kod ovog drugog zadatka za vrednost [inlmath]k=1[/inlmath] nismo uvažavali iako je bila obična zagrada.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 56
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +2

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Frank » Nedelja, 20. Decembar 2020, 22:07

U prvom zadatku desna granica je [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] ([inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] ne uključujemo). [inlmath]1[/inlmath] je manje od [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] i zbog toga [inlmath]k=1[/inlmath] je jedna od mogućnosti (druga mogućnost je [inlmath]k=0[/inlmath])
U drugom zadatku desna granica je [inlmath]1[/inlmath] ([inlmath]1[/inlmath] ne uključujemo), pa pošto [inlmath]1[/inlmath] nije manje od [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]k=1[/inlmath] nije jedna od mogućnosti.
Frank   ONLINE
 
Postovi: 391
Zahvalio se: 201 puta
Pohvaljen: 246 puta

  • +1

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod miletrans » Nedelja, 20. Decembar 2020, 22:21

Aćime, skrenuo bih ti pažnju da trigonometrijske funkcije u LaTex-u pišeš sa "backslash"-om. Dakle, \sin x, a ne sinx. Složićeš se da je [inlmath]\sin x[/inlmath] preglednije od [inlmath]sinx[/inlmath].

Što se tiče linkovanja tema unutar foruma, detaljno uputstvo imaš ovde.
Globalni moderator
 
Postovi: 439
Zahvalio se: 44 puta
Pohvaljen: 514 puta

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Acim » Nedelja, 20. Decembar 2020, 22:30

Hvala puno na pomoći, sada mi je skroz jasno.
miletrans je napisao:Aćime, skrenuo bih ti pažnju da trigonometrijske funkcije u LaTex-u pišeš sa "backslash"-om. Dakle, \sin x, a ne sinx. Složićeš se da je [inlmath]\sin x[/inlmath] preglednije od [inlmath]sinx[/inlmath].

U redu.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 56
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Daniel » Sreda, 23. Decembar 2020, 01:30

Acim je napisao:dobija se da [inlmath]k[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath], a kako je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj, ispada da on pripada intervalu [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath], ali ne mogu koristiti nijednu od tih vrednosti jer je interval otvoren,

Acim je napisao:Konkretno me kod 1. zadatka buni što su bile svuda obične zagrade a opet smo uvažavali vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] ([inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]), dok kod ovog drugog zadatka za vrednost [inlmath]k=1[/inlmath] nismo uvažavali iako je bila obična zagrada.

Mada ti je Frank ovo fino objasnio, dodao bih i da bi trebalo da ovakve intervale u glavi vizualizuješ, ili na papiru skiciraš, tako što ih predstaviš na brojevnoj pravoj.
Ako na brojevnoj pravoj predstaviš posmatrani interval (konkretno, ovde [inlmath]\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath]), a zatim na istu brojevnu pravu na odgovarajuća mesta ucrtaš i cele brojeve, onda ćeš tačno sa skice videti koji se celi brojevi nalaze u pomenutom intervalu.

Frank je napisao:zaključujemo da [inlmath]k[/inlmath] može biti [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], tj. [inlmath]k=\{0,1\}[/inlmath] (a ne [inlmath](0,1)[/inlmath], kako si ti napisao).

Ovo [inlmath]k=\{0,1\}[/inlmath] moram da ispravim, budući da si i u narednim postovima ponovio ovakvo obeležavanje. Greška je u tome što [inlmath]\{0,1\}[/inlmath] po svojoj prirodi predstavlja skup (čiji su elementi [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]), i ako bismo između [inlmath]k[/inlmath] i tog skupa upotrebili znak jednakosti, ispalo bi da i [inlmath]k[/inlmath] predstavlja skup, što nije tačno. [inlmath]k[/inlmath] predstavlja neku vrednost iz tog skupa, i zbog toga je korektno pisati [inlmath]k\in\{0,1\}[/inlmath], a ne [inlmath]k=\{0,1\}[/inlmath].

Acim je napisao:[dispmath]2\cos x\cos2x=\cos x-\frac{1}{2}[/dispmath] na intervalu [inlmath]\left[-\frac{8\pi}{9},\frac{8\pi}{9}\right)[/inlmath]
E sad, da skratim pošto treba samo da razjasnim interval. Bio je ovaj primer rešavan u jednoj temi, ali ne znam još uvek kako da linkujem pa da postavim ovde.

Ako nekog bude zanimalo, u pitanju je ovaj zadatak.



Inače, drugi način za zadatak iz uvodnog posta bio bi da se upotrebi formula za sinus polovine ugla i da se sve izrazi preko ugla [inlmath]2x[/inlmath], to jest da se [inlmath]\sin^2x+\sin^22x=1[/inlmath] napiše kao [inlmath]\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos2x+\sin^22x=1[/inlmath], zatim se kvadrat sinusa izrazi preko kvadrata kosinusa i dobije se kvadratna po [inlmath]\cos2x[/inlmath]. Eto ko hoće da se malo zanima, može i taj način da isproba...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8521
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4567 puta
Pohvaljen: 4546 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 6 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 16. Januar 2021, 14:59 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs