Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Podskup rešenja trigonometrijske nejednačine

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Podskup rešenja trigonometrijske nejednačine

Postod Ilija » Nedelja, 08. Mart 2015, 01:43

Neka je [inlmath]S[/inlmath] skup svih realnih rešenja nejednačine [inlmath]\mathrm{tg}\:x\left(1-\mathrm{tg}^2x\right)\left(1-3\mathrm{tg}^2x\right)(1+\mathrm{tg}\:2x\cdot\mathrm{tg}\:3x)>0[/inlmath] i neka je [inlmath]S_1\subset S[/inlmath]. Tada skup [inlmath]S_1[/inlmath] može biti:
[dispmath](A)\;\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\quad\enclose{box}{(B)\;\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)}\quad (C)\;\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)\quad (D)\;\left(\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right)\quad (E)\;\left(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right)\quad (N)\;\mbox{Ne znam}[/dispmath]
Rešavanjem jednačine dobije se da je [inlmath]k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], odnosno da je [inlmath]S\in\left(k\pi,\;\frac{\pi}{2}+k\pi\right)[/inlmath] uz uslov da [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath].

Ono što me buni u zadatku je kako da odredim podskup [inlmath]S_1[/inlmath]?
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Podskup rešenja trigonometrijske nejednačine

Postod desideri » Nedelja, 08. Mart 2015, 02:13

Pretpostavljam da je ovo zadatak sa nekog prijemnog ispita, za neki tehnički fakultet. Evidentno je da se podskup skupa [inlmath]S[/inlmath] ne može odrediti jednoznačno, jednostavno nije zadat nikakav uslov i može se definisati beskonačno mnogo podskupova skupa [inlmath]S[/inlmath]. Ali, pošto je ovo prijemni ispit, dešavalo se da se do tačnog odgovora dolazi eliminacijom svih ponuđenih odgovora osim jednog. Ovde tako i mora da se uradi. Naime, osim zaokruženog odgovora, svi ostali iskaču iz intervala tvog rešenja nejednačine, to jest iz oblasti definisanosti skupa [inlmath]S[/inlmath].
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Podskup rešenja trigonometrijske nejednačine

Postod Sinisa » Nedelja, 08. Mart 2015, 11:11

kod nas na prijemnim u BIH nema ponudjenih odgovora, zato cesto znaju biti dosta tezi... kod ovih zadataka sa ponudjenim odgovorima cesto mozes doci do pravog diskriminacijom netacnih :D
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Podskup rešenja trigonometrijske nejednačine

Postod Ilija » Nedelja, 08. Mart 2015, 11:19

Nije mi jasno kako odgovor pod [inlmath]B[/inlmath] ne istupa iz intervala. Po meni je to odgovor pod [inlmath]D[/inlmath].
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Re: Podskup rešenja trigonometrijske nejednačine

Postod desideri » Nedelja, 08. Mart 2015, 14:59

Sasvim si u pravu, i ja sam to posle video. Ali, uklapa se i pod [inlmath]B[/inlmath] ako se stavi [inlmath]k=0[/inlmath]. No, možda su mislili da nula ne pripada skupu celih brojeva ([inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath]).
A pravo da ti kažem, nisam proveravao tvoje rešenje, verujem na reč da je tačno :mhm:
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Podskup rešenja trigonometrijske nejednačine

Postod Daniel » Nedelja, 08. Mart 2015, 18:10

Da, [inlmath]S\in\left(k\pi,\;\frac{\pi}{2}+k\pi\right)[/inlmath] je tačno rešenje ovog zadatka i predstavlja sve uglove u [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu, ne računajući granice tih kvadranata.

desideri je napisao:No, možda su mislili da nula ne pripada skupu celih brojeva ([inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath]).

Ne bih rekao da je to u pitanju. Ima autora koji se ne slažu po tome da li nula pripada skupu prirodnih brojeva ili ne, ali svi se slažu da nula pripada skupu celih brojeva. :)
Osim toga, uvrštavanjem bilo koje vrednosti iz intervala pod [inlmath]B[/inlmath] dobije se da je nejednačina zadovoljena, a takođe, u zadatku je odgovor [inlmath]B[/inlmath] uokviren kao tačan.

Po ovome kako je napisano, zaista bi trebalo da su tačni i [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]. Ali, budući da je kod ovakvih zadataka sa prijemnih ispita uvek tačan jedan i samo jedan od ponuđenih odgovora, verovatno je ili u pitanju štamparska greška, ili je u pitanju greška u kucanju zadatka ovde na forumu. Da ne treba pod [inlmath]D[/inlmath] možda da piše [inlmath]\left(\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right][/inlmath] (tj. desna granica intervala da bude zatvorena)? U tom slučaju [inlmath]D[/inlmath] ne bi bio tačan odgovor, pa bi [inlmath]B[/inlmath] preostao kao jedini tačan.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Podskup rešenja trigonometrijske nejednačine

Postod Ilija » Nedelja, 08. Mart 2015, 20:23

Ovo je zadatak:

capture.jpg
capture.jpg (20.83 KiB) Pogledano 2072 puta
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

  • +2

Re: Podskup rešenja trigonometrijske nejednačine

Postod Daniel » Nedelja, 08. Mart 2015, 21:31

E stvarno opasna zamka, tek sam sad provalio. :) Zbog definicionih uslova tangensa, mora biti ispunjeno
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\\
2x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\\
3x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi
\end{array}\quad\right\}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}
x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\
x\ne\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}
\end{array}[/dispmath]
pa interval [inlmath]\left(\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath] otpada, jer se u njemu nalazi i vrednost [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath] koja zapravo predstavlja [inlmath]\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath] za [inlmath]k=2[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Podskup rešenja trigonometrijske nejednačine

Postod Herien Wolf » Subota, 21. Maj 2016, 20:32

[inlmath]\text{tg }x\left(1-\text{tg}^2x\right)\left(1-3\text{tg}^2x\right)\left(1+\text{tg }2x\cdot\text{tg }3x\right)>0[/inlmath]
Sad sređujemo deo po deo:
[dispmath]\text{tg }x=\frac{\sin x}{\cos x}\;\Rightarrow x\;\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\\
1-\text{tg}^2x=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}\\
1-3\text{tg}^2x=\frac{\cos^2x-3\sin^2x}{\cos^2x}\\
\begin{align}
\phantom{aaaaaaa}1+\text{tg }2x\cdot\text{tg }3x&=1+\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}\cdot\frac{\sin\left(2x+x\right)}{\cos\left(2x+x\right)}\\
&=1+\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}\cdot\frac{\sin2x\cos x+\cos2x\sin x}{\cos2x\cos x-\sin2x\sin x}\\
&=1+\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}\cdot\frac{2\sin x\cos^2x+\cos^2x\sin x-\sin^3x}{\cos^3x-\sin^2x\cos x-2\sin^2x\cos x}\\
&=1+\frac{2\sin x\cancel{\cos x}}{\cos^2x-\sin^2x}\cdot\frac{\sin x\left(3\cos^2x-\sin^2x\right)}{\cancel{\cos x}\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)}\\
&=1+\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}\cdot\frac{\sin x\left(3\cos^2x-\sin^2x\right)}{\cos^2x-3\sin^2x}\\
&=\frac{\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)+2\sin^2x\left(3\cos^2x-\sin^2x\right)}{\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)}\\
&=\frac{\left(2\cos^2x-1\right)\left(4\cos^2x-3\right)+\left(2-2\cos^2x\right)\left(4\cos^2x-1\right)}{\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)}\\
&=\frac{\cancel{8\cos^4x}-\cancel{6\cos^2x}-\cancel{4\cos^2x}+3-\cancel{8\cos^2x}-2-\cancel{8\cos^4x}+\cancel{2\cos^2x}}{\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)}\\
&=\frac{1}{\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)}
\end{align}[/dispmath]
Ovde isključujemo
[dispmath]x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\
x\ne\frac{\pi}{6}+k\pi\\
x\ne\frac{5\pi}{6}+k\pi[/dispmath]
Sad sve sređene izraze uvrstimo u početni izraz
[dispmath]\text{tg }x\left(1-\text{tg}^2x\right)\left(1-3\text{tg}^2x\right)\left(1+\text{tg }2x\cdot\text{tg }3x\right)>0\iff\\
\iff\text{tg }x\cdot\frac{\cancel{\cos^2x-\sin^2x}}{\cos^2x}\cdot\frac{\cancel{\cos^2x-3\sin^2x}}{\cos^2x}\cdot\frac{1}{\cancel{\left(\cos^2x-\sin^2x\right)}\cancel{\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)}}>0\\\
\\\
\Rightarrow\;\frac{\text{tg }x}{\cos^4x}>0\\
\text{tg }x>0[/dispmath]
Napravio sam grafik zadate funkcije u intervalu [inlmath]\left[-\pi,2\pi\right][/inlmath]

tgx (2).png
tgx (2).png (23.25 KiB) Pogledano 2057 puta

[dispmath]\text{tg }x>0\;\Rightarrow\;x\in\left(-\pi,-\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{5\pi}{6},-\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\\
\cup\left(0,\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\pi,\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right)[/dispmath]
Sva ponuđena rešenja osim [inlmath]\left(B\right)\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath] koje se nalazi unutar intervala [inlmath]\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath] otpadaju zbog uslova koje smo dobili za vreme sređivanja izraza.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 213 puta

  • +1

Re: Podskup rešenja trigonometrijske nejednačine

Postod Daniel » Nedelja, 22. Maj 2016, 18:07

To je to. :thumbup: Imao bih samo jednu primedbu,
Herien Wolf je napisao:[dispmath]\text{tg }x>0\;\Rightarrow\;x\in\left(-\pi,-\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{5\pi}{6},-\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\\
\cup\left(0,\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\pi,\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right)[/dispmath]

Ako bismo krenuli ovako da nabrajamo, onda bismo morali da ispišemo beskonačno mnogo intervala, tj. ovo napisano ne bi bili svi intervali. Morali bismo napisati i [inlmath]\left(2\pi,\frac{13\pi}{6}\right)[/inlmath], i [inlmath]\left(\frac{13\pi}{6},\frac{9\pi}{4}\right)[/inlmath] itd. do pozitivne beskonačnosti; isto tako i u suprotnom smeru: [inlmath]\left(-\frac{7\pi}{4},-\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath] itd. do negativne beskonačnosti.

Upravo zbog toga se i dodaje onaj sabirak [inlmath]+2k\pi[/inlmath], kako bismo ispisali rešenja samo za jedan opseg punog obrta po trigonometrijskoj kružnici, na koja zatim dodajemo celobrojni umnožak vrednosti [inlmath]2\pi[/inlmath]...

Doduše, u ovom zadatku bi bilo dopušteno, pošto su ponuđena rešenja u opsegu [inlmath]\left(-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath], da naglasimo da nabrajamo samo rešenja nejednačine [inlmath]\text{tg }x>0[/inlmath] koja su u tom opsegu – i onda da ih navedemo.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sledeća

Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 38 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 07:37 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs