Hvala, uradio sam zadatak
Osim resenja koje je
Daniel predocio naveo bih jos dva nacina koja
priblizno dovode do resenja. Ovo je zadatak sa prijemnog (u pitanju je FON al ne znam koja godina).
Tekst zadatka:
Vrednost proizvoda [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;\frac {1}{2}\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\frac{\sqrt3}{2}\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\frac{1}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;-\frac{1}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;-\frac{1}{2}[/inlmath]
I nacin[dispmath]\cos\frac{\pi}{5}<\cos\frac{\pi}{6}\quad\land\quad\cos\frac{2\pi}{5}<\cos\frac{2\pi}{6}\\
\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}<\cos\frac{\pi}{6}\cdot\cos\frac{2\pi}{6}\\
\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}<\frac{\sqrt3}{4}[/dispmath]
S obzirom na to da je [inlmath]\cos\frac{\pi}{5},\cos\frac{2\pi}{5}>0\;\Rightarrow\;\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}>0[/inlmath]
Ovo automatski dovodi do toga da [inlmath]0<\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}<\frac{\sqrt3}{4}[/inlmath]
Ovde odmah eliminisemo dva negativna resenja pod D) i E) i do tako sto cemo eliminisati resenja veca od [inlmath]\frac{\sqrt3}{4}[/inlmath] u ovom slucaju to su A) i B), i kao jedino resenje koje se uklapa u uslove ostaje pod C) tj. [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{1}{4}[/inlmath]
II nacinDrugi nacin bi takodje doveo do priblizne vrednosti preko aproksimacije funkcija tj. [inlmath]f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\cdot\Delta x[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{30}\right)\approx\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{6}\cdot\frac{\pi}{30}\\
\cos\frac{\pi}{5}\approx\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{60}\\
\cos\frac{\pi}{5}\approx0.81[/dispmath]
Nakon toga [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] izrazimo preko [inlmath]2\cos^2\frac{\pi}{5}-1[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{81}{100}\cdot\left(2\left(\frac{81}{100}\right)^2-1\right)\\
\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{81}{100}\cdot\left(\frac{6561}{5000}-1\right)\\
\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{81}{100}\cdot\frac{1561}{5000}\\
\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{253}{1000}\\
\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{1}{4}[/dispmath]
Kod aproksimacije funkcija [inlmath]\Delta x[/inlmath] treba da bude jako mali broj ali u ovom slucaju iako [inlmath]\Delta x[/inlmath] nije bilo bas mali broj greska u vrednosti [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath] je priblizno [inlmath]0.004[/inlmath]
Naravno napomena da oba nacina nisu primarni nacini resavanja ali u slucaju kada ne mozemo da dodjemo do tacnog resenja "standardnim" putem, ova dva nacina mogu biti od koristi. Mada je pozeljno zadatak uraditi na standardni nacin koji dovodi do egzaktnog resenja.