Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Izracunati vrednost izraza

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Izracunati vrednost izraza

Postod Herien Wolf » Petak, 13. Maj 2016, 06:41

Izracunati izraz [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath]
Ja sam pokusavao sa pretvaranjem proizvoda u zbir al se ponovo vracam na isto tj. ne uspevam da sredim izraz.
Pokusao sam i da pomnozim i podelim sa [inlmath]2\sin\frac{\pi}{5}[/inlmath] al dolazim do koraka [inlmath]\frac{\sin\frac{4\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}}[/inlmath]. Kada bih rastavljao [inlmath]\sin\frac{4\pi}{5}[/inlmath] preko duplog ugla ponovo bih sve vratio na pocetni oblik [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath]
Ima li neko ideju ? :D
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 213 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Izracunati vrednost izraza

Postod Onomatopeja » Petak, 13. Maj 2016, 08:56

Zadatak se, u principu, svodi na odredjivanje [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath] (jer se odatle lako nalazi i [inlmath]\sin\frac{\pi}{5}[/inlmath], koji ce nam biti potreban kad odredjujemo [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath]). Tu vrednost mozes naci iz formule za [inlmath]\cos(5x)[/inlmath] preko [inlmath]\cos x[/inlmath] (kod nas je [inlmath]x=\frac{\pi}{5}[/inlmath]), koja je izvodjena u ovoj temi (tu je za sinus, ali ista je prica za kosinus). Odatle ces dobiti jednu jednacinu po [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath], no trebalo bi da je sve resivo.

Takodje, poprilicno sam ubedjen da je na forumu vec negde izvodjena formula za vrednost sinusa i kosinusa za ovaj ugao (jer je taj ugao specifican), no to ce neko drugi bolje znati.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Izracunati vrednost izraza

Postod Daniel » Petak, 13. Maj 2016, 10:32

Herien Wolf je napisao:al dolazim do koraka [inlmath]\frac{\sin\frac{4\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}}[/inlmath].

[inlmath]\sin\frac{4\pi}{5}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)=\sin\frac{\pi}{5}[/inlmath]

Onomatopeja je napisao:Tu vrednost mozes naci iz formule za [inlmath]\cos(5x)[/inlmath] preko [inlmath]\cos x[/inlmath] (kod nas je [inlmath]x=\frac{\pi}{5}[/inlmath]), koja je izvodjena u ovoj temi (tu je za sinus, ali ista je prica za kosinus). Odatle ces dobiti jednu jednacinu po [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath], no trebalo bi da je sve resivo.

Dobije se, nažalost, jednačina petog stepena (slično kao i u toj temi), tj. [inlmath]\cos5x=16\cos^5x-20\cos^3x+5\cos x[/inlmath], tako da, nakon uvrštavanja [inlmath]x=\frac{\pi}{5}[/inlmath], nije moguće analitički izraziti [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath] preko [inlmath]\cos\pi[/inlmath].

Onomatopeja je napisao:Takodje, poprilicno sam ubedjen da je na forumu vec negde izvodjena formula za vrednost sinusa i kosinusa za ovaj ugao (jer je taj ugao specifican), no to ce neko drugi bolje znati.

Jeste, ja sam je izvodio ovde, a Ilija ovde (Ilija je, doduše, odredio [inlmath]\cos\frac{4\pi}{5}[/inlmath], ali to je isto što i [inlmath]-\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath]).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izracunati vrednost izraza

Postod Onomatopeja » Petak, 13. Maj 2016, 11:06

Da, zaista, ovde nije ni bilo potrebe da se odredi vrednost kosinusa, tj. sinusa, od ovog ugla.

Na prvi pogled mi je izgledalo da ovaj polinom petog stepena ima jednu celu nulu, pa da bi se onda mogao sniziti red, a onda posle ocigledne smene svesti na kvadratnu jednacinu. No, ne moze na taj nacin.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Izracunati vrednost izraza

Postod Herien Wolf » Petak, 13. Maj 2016, 12:09

Hvala, uradio sam zadatak :D
Osim resenja koje je Daniel predocio naveo bih jos dva nacina koja priblizno dovode do resenja. Ovo je zadatak sa prijemnog (u pitanju je FON al ne znam koja godina).

Tekst zadatka:

Vrednost proizvoda [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;\frac {1}{2}\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\frac{\sqrt3}{2}\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\frac{1}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;-\frac{1}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;-\frac{1}{2}[/inlmath]



I nacin
[dispmath]\cos\frac{\pi}{5}<\cos\frac{\pi}{6}\quad\land\quad\cos\frac{2\pi}{5}<\cos\frac{2\pi}{6}\\
\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}<\cos\frac{\pi}{6}\cdot\cos\frac{2\pi}{6}\\
\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}<\frac{\sqrt3}{4}[/dispmath]
S obzirom na to da je [inlmath]\cos\frac{\pi}{5},\cos\frac{2\pi}{5}>0\;\Rightarrow\;\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}>0[/inlmath]
Ovo automatski dovodi do toga da [inlmath]0<\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}<\frac{\sqrt3}{4}[/inlmath]
Ovde odmah eliminisemo dva negativna resenja pod D) i E) i do tako sto cemo eliminisati resenja veca od [inlmath]\frac{\sqrt3}{4}[/inlmath] u ovom slucaju to su A) i B), i kao jedino resenje koje se uklapa u uslove ostaje pod C) tj. [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{1}{4}[/inlmath]



II nacin
Drugi nacin bi takodje doveo do priblizne vrednosti preko aproksimacije funkcija tj. [inlmath]f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\cdot\Delta x[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{30}\right)\approx\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{6}\cdot\frac{\pi}{30}\\
\cos\frac{\pi}{5}\approx\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{60}\\
\cos\frac{\pi}{5}\approx0.81[/dispmath]
Nakon toga [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] izrazimo preko [inlmath]2\cos^2\frac{\pi}{5}-1[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{81}{100}\cdot\left(2\left(\frac{81}{100}\right)^2-1\right)\\
\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{81}{100}\cdot\left(\frac{6561}{5000}-1\right)\\
\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{81}{100}\cdot\frac{1561}{5000}\\
\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{253}{1000}\\
\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{1}{4}[/dispmath]
Kod aproksimacije funkcija [inlmath]\Delta x[/inlmath] treba da bude jako mali broj ali u ovom slucaju iako [inlmath]\Delta x[/inlmath] nije bilo bas mali broj greska u vrednosti [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath] je priblizno [inlmath]0.004[/inlmath]

Naravno napomena da oba nacina nisu primarni nacini resavanja ali u slucaju kada ne mozemo da dodjemo do tacnog resenja "standardnim" putem, ova dva nacina mogu biti od koristi. Mada je pozeljno zadatak uraditi na standardni nacin koji dovodi do egzaktnog resenja.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 213 puta

Izracunati vrednost izraza

Postod lowzyyy » Utorak, 07. Jun 2016, 14:28

* MOD EDIT * Spojene dve teme s istim zadatkom

Treba da se izracuna:
[dispmath]\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\cdot\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)[/dispmath]
Moze upustvo kako da pocnem ili sta da uocim ?
lowzyyy  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 8 puta

  • +1

Re: Izracunati vrednost izraza

Postod Daniel » Utorak, 07. Jun 2016, 14:48

Bilo pre nepunih mesec dana: viewtopic.php?f=4&t=2650

P.S. U ovom izrazu ti nisu potrebne zagrade.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izracunati vrednost izraza

Postod lowzyyy » Utorak, 07. Jun 2016, 15:12

Vrlo zanimljivo, nisam uspeo da mrdnem nikako, a zapravo je samo trebalo da se vidi da je [inlmath]\frac{2\pi}{5}[/inlmath] isto sto i [inlmath]\frac{3\pi}{5}[/inlmath]
lowzyyy  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 8 puta

Re: Izracunati vrednost izraza

Postod Daniel » Utorak, 07. Jun 2016, 15:57

[inlmath]\frac{2\pi}{5}[/inlmath] nikako nije isto sto i [inlmath]\frac{3\pi}{5}[/inlmath]. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Vrednost izraza

Postod lowzyyy » Utorak, 07. Jun 2016, 20:18

Ne mislim u smislu uglova vec sinusa :D
lowzyyy  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 8 puta

Sledeća

Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 41 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 00:06 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs