Kad je tema već pokrenuta, da se nadovežem – [inlmath]\text{tg }20^\circ[/inlmath] se može predstaviti u nekom obliku, doduše, preko kompleksnih brojeva. Do tog oblika se dolazi, nažalost, rešavanjem kubne jednačine, koje nije baš jednostavno.
Kreće se od [inlmath]\text{tg }60^\circ[/inlmath], za koji znamo da iznosi [inlmath]\sqrt3[/inlmath]. Zatim se on napiše kao [inlmath]\text{tg}\left(20^\circ+40^\circ\right)[/inlmath] pa se primeni adiciona formula za tangens. Zatim se na [inlmath]\text{tg }40^\circ[/inlmath] primeni formula za tangens dvostrukog ugla i sve se svede na izraz u kojem figuriše [inlmath]\text{tg }20^\circ[/inlmath]. Dobićemo
[dispmath]\text{tg }60^\circ=\frac{3\text{tg }20^\circ-\text{tg}^320^\circ}{1-3\text{tg}^220^\circ}[/dispmath]
[inlmath]\text{tg }60^\circ[/inlmath] se, dakle, napiše kao [inlmath]\sqrt3[/inlmath], ovo se sredi i dobije se kubna jednačina po [inlmath]\text{tg }20^\circ[/inlmath],
[dispmath]\text{tg}^320^\circ-3\sqrt3\text{tg}^220^\circ-3\text{tg }20^\circ+\sqrt3=0[/dispmath]
Jednačina ima tri realna rešenja, jedno je negativno (njega odmah odbacujemo, jer je jasno da ovaj tangens mora biti pozitivan), drugo rešenje je veće od [inlmath]5[/inlmath] (njega takođe odbacujemo jer tangens za uglove između nule i [inlmath]45^\circ[/inlmath] mora biti između nule i jedinice), i ostaje samo rešenje:
[dispmath]\text{tg }20^\circ=\sqrt3-\frac{2}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(-\sqrt3+i\right)}}-2^{2/3}\sqrt[3]{-\sqrt3+i}[/dispmath]
(izvor:
Wolfram)
Ceo taj izraz daje realan broj [inlmath]\approx0,36397[/inlmath], a mogao bi se zapisati i u obliku [inlmath]\sqrt3-4\sin\left(\frac{2\pi}{9}\right)[/inlmath], ali time nismo mnogo uradili jer i u njemu figuriše sinus nekog „čudnog“ ugla.