Ivančica je napisao:Treba mi rešenje ove jednačine koje iznosi [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi[/inlmath], međutim ja nemam pojma kako su došli do toga.
[dispmath]\sin^4x-\cos^4x=\cos x[/dispmath]
Tačno je i vaše i njihovo rešenje.
Naime, vi ste dobili [inlmath]x=\pi+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath], koja možemo napisati i na sledeći način:
[dispmath]x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\left(3k\right)\pi\\
x=\pi+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\left(3k+1\right)\pi\\
x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\left(3k-1\right)\pi[/dispmath]
Primećujemo da se ovako zapisani skupovi rešenja razlikuju samo po onom delu u zagradi – kod prvog skupa rešenja to je [inlmath]3k[/inlmath], kod drugog skupa je [inlmath]3k+1[/inlmath] i kod trećeg skupa je [inlmath]3k-1[/inlmath]. E sad uočimo da svi celi brojevi oblika [inlmath]3k[/inlmath], svi celi brojevi oblika [inlmath]3k+1[/inlmath] i svi celi brojevi oblika [inlmath]3k-1[/inlmath] zajedno čine – ceo skup celih brojeva (jer je npr. broj oblika [inlmath]3k+2[/inlmath] isto što i broj oblika [inlmath]3k-1[/inlmath]).
Prema tome, ova tri skupa rešenja možemo spojiti u jedan, pri čemu umesto [inlmath]3k[/inlmath], [inlmath]3k+1[/inlmath] i [inlmath]3k-1[/inlmath] pišemo, jednostavno, [inlmath]k[/inlmath]:
[dispmath]\enclose{box}{x=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}}[/dispmath]
Mogli smo u to da se uverimo i posmatranjem rešenja na trigonometrijskoj kružnici:
- resenja.png (853 Bajta) Pogledano 308 puta
Kad su rešenja ovako grafički predstavljena, lako uočavamo da su ona po kružnici poređana ekvidistantno, tj. razlika između svaka dva uzastopna rešenja je uvek ista:
- između [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] razlika je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath];
- između [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath] razlika je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath];
- između [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] razlika je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath];
- između [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{7\pi}{3}[/inlmath] razlika je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath];
itd...
Drugim rečima, rešenja čine aritmetički niz čija razlika iznosi [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath].
Zbog toga sva ta rešenja možemo zapisati tako što uočimo bilo koje konkretno rešenje (npr. [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath]) i na njega dodamo celobrojni umnožak vrednosti [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath]. Dakle, [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath].
Takođe bi bilo ispravno i da smo rešenje napisali i u obliku [inlmath]x=-\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath], ili [inlmath]x=\pi+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath], ili [inlmath]x=\frac{5\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath] itd. itd.