Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Rešenje jednačine

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Rešenje jednačine

Postod Ivančica » Petak, 24. Jun 2016, 10:10

Treba mi rešenje ove jednačine koje iznosi [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi[/inlmath], međutim ja nemam pojma kako su došli do toga.
[dispmath]\sin^4x-\cos^4x=\cos x[/dispmath]
Prvo što sam uradila jeste da sam razdvojila [inlmath]\sin^4x-\cos^4x[/inlmath] kao razliku kvadrata. Tu sam dobila [inlmath]\sin^2x-\cos^2x[/inlmath] koje sam pretvorila u [inlmath]1-2\cos^2 x[/inlmath]. Onda dobijem kv. jednačinu u koju sam uvrstila smjenu i odatle dobijem da je [inlmath]t=-1[/inlmath] i [inlmath]t=\frac{1}{2}[/inlmath]. Kada u to uvrstim [inlmath]\cos x[/inlmath] dobijem rešenja [inlmath]x=\pi+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] i ništa mi nije jasno.
Korisnikov avatar
 
Postovi: 10
Lokacija: Srebrenica
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Rešenje jednačine

Postod jovanmilic97 » Petak, 24. Jun 2016, 10:26

Ja koliko vidim dobra su ti sva 3 resenja. :thumbup: Verovatno je u pitanju neka greska.

Ono resenje koje si napisala bi figurisalo da se radilo o [inlmath]\sin3x[/inlmath] i [inlmath]\cos3x[/inlmath], sto ovde nije slucaj.
 
Postovi: 45
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 30 puta

Re: Rešenje jednačine

Postod Ivančica » Petak, 24. Jun 2016, 10:37

Aha, e dobro je, hvala :D

Kad sam već ovdje, da li to znači da bi mi zbir rešenja na intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath] bio jednak [inlmath]3\pi[/inlmath]? :D
Korisnikov avatar
 
Postovi: 10
Lokacija: Srebrenica
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Rešenje jednačine

Postod jovanmilic97 » Petak, 24. Jun 2016, 10:46

Hoce. Kod mene su resenja ova (za [inlmath]k=0[/inlmath] u prva 2 slucaja i [inlmath]k=1[/inlmath] u poslednjem slucaju):
[dispmath]\pi,\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}[/dispmath]
I zbir je [inlmath]3\pi[/inlmath], kao sto si i navela. :D
 
Postovi: 45
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 30 puta

Re: Rešenje jednačine

Postod Daniel » Petak, 24. Jun 2016, 12:54

Ivančica je napisao:Treba mi rešenje ove jednačine koje iznosi [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi[/inlmath], međutim ja nemam pojma kako su došli do toga.
[dispmath]\sin^4x-\cos^4x=\cos x[/dispmath]

Tačno je i vaše i njihovo rešenje. :)
Naime, vi ste dobili [inlmath]x=\pi+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath], koja možemo napisati i na sledeći način:
[dispmath]x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\left(3k\right)\pi\\
x=\pi+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\left(3k+1\right)\pi\\
x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\left(3k-1\right)\pi[/dispmath]
Primećujemo da se ovako zapisani skupovi rešenja razlikuju samo po onom delu u zagradi – kod prvog skupa rešenja to je [inlmath]3k[/inlmath], kod drugog skupa je [inlmath]3k+1[/inlmath] i kod trećeg skupa je [inlmath]3k-1[/inlmath]. E sad uočimo da svi celi brojevi oblika [inlmath]3k[/inlmath], svi celi brojevi oblika [inlmath]3k+1[/inlmath] i svi celi brojevi oblika [inlmath]3k-1[/inlmath] zajedno čine – ceo skup celih brojeva (jer je npr. broj oblika [inlmath]3k+2[/inlmath] isto što i broj oblika [inlmath]3k-1[/inlmath]).
Prema tome, ova tri skupa rešenja možemo spojiti u jedan, pri čemu umesto [inlmath]3k[/inlmath], [inlmath]3k+1[/inlmath] i [inlmath]3k-1[/inlmath] pišemo, jednostavno, [inlmath]k[/inlmath]:
[dispmath]\enclose{box}{x=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}}[/dispmath]


Mogli smo u to da se uverimo i posmatranjem rešenja na trigonometrijskoj kružnici:

resenja.png
resenja.png (853 Bajta) Pogledano 308 puta

Kad su rešenja ovako grafički predstavljena, lako uočavamo da su ona po kružnici poređana ekvidistantno, tj. razlika između svaka dva uzastopna rešenja je uvek ista:
  • između [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] razlika je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath];
  • između [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath] razlika je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath];
  • između [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] razlika je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath];
  • između [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{7\pi}{3}[/inlmath] razlika je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath];
    itd...
Drugim rečima, rešenja čine aritmetički niz čija razlika iznosi [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath].

Zbog toga sva ta rešenja možemo zapisati tako što uočimo bilo koje konkretno rešenje (npr. [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath]) i na njega dodamo celobrojni umnožak vrednosti [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath]. Dakle, [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath].

Takođe bi bilo ispravno i da smo rešenje napisali i u obliku [inlmath]x=-\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath], ili [inlmath]x=\pi+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath], ili [inlmath]x=\frac{5\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath] itd. itd.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Rešenje jednačine

Postod Ivančica » Subota, 25. Jun 2016, 18:04

Aha, hvala :D Znači u suštini to njihovo rešenje, nije ništa "tačnije" od ovog koje sam ja dobila? :D
Korisnikov avatar
 
Postovi: 10
Lokacija: Srebrenica
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Rešenje jednačine

Postod Daniel » Nedelja, 26. Jun 2016, 08:26

Oba rešenja, i tvoje i njihovo, podjednako su tačna, ali je njihovo zapisano na lepši način. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 31 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 16:48 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs