Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Stranice jednakokrakog trougla – prijemni ETF 2015.

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Moderator: Corba248

Stranice jednakokrakog trougla – prijemni ETF 2015.

Postod extremesportist » Nedelja, 26. Jun 2016, 15:51

Prijemni ispit ETF – 29. jun 2015.
17. zadatak


U jednakokrakom trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] je [inlmath]AB=BC=b[/inlmath], [inlmath]AC=a[/inlmath] i [inlmath]\angle ABC=20^\circ[/inlmath]. Tada je izraz [inlmath]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}[/inlmath] jednak:

Rešenje: [inlmath]3[/inlmath]

Pošto imamo jedan ugao jednakokrakog trougla jasno je da su ostala 2 jednaka i iznose [inlmath]80^\circ[/inlmath]. Pokušao sam da iskoristim sinusnu ili kosinusnu teoremu i na taj način izrazim jednu stranicu preko druge, ali nisam uspeo.

Hvala unapred
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 12 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Stranice jednakokrakog trougla – prijemni ETF 2015.

Postod Daniel » Nedelja, 26. Jun 2016, 17:32

Treba uvek da napišeš to dokle si stigao, kako bismo znali gde da nastavimo. Ali OK, pretpostaviću da si preko sinusne teoreme došao do koraka
[dispmath]\frac{a}{b}=\frac{\sin20^\circ}{\cos10^\circ}=2\sin10^\circ[/dispmath] a odatle do
[dispmath]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}=\frac{8\sin^310^\circ+1}{2\sin10^\circ}\tag1[/dispmath] Ovaj sinus od [inlmath]10^\circ[/inlmath] bilo bi zgodno sada nekako predstaviti kao sinus trećine ugla od [inlmath]30^\circ[/inlmath], jer je [inlmath]30^\circ[/inlmath] karakterističan ugao i za njega znamo vrednosti trigonometrijskih funkcija. Krenimo od sinusa trostrukog ugla [inlmath]\sin3x[/inlmath] i njega izrazimo preko [inlmath]\sin x[/inlmath], pa ćemo samim tim onda imati i obrnutu vezu – između [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\sin3x[/inlmath].
[dispmath]\sin3x=\sin\left(2x+x\right)=\overset{\text{(adiciona formula)}}{\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots}=3\sin x-4\sin^3x\\
\Rightarrow\quad4\sin^3x=3\sin x-\sin3x\\
\Rightarrow\quad4\sin^310^\circ=3\sin10^\circ-\underbrace{\sin30^\circ}_{\frac{1}{2}}[/dispmath] E sad to uvrsti u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i dobićeš
[dispmath]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}=\frac{2\left(3\sin10^\circ-\frac{1}{2}\right)+1}{2\sin10^\circ}[/dispmath] Dalje je lako.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

  • +1

Re: Stranice jednakokrakog trougla – prijemni ETF 2015.

Postod Corba248 » Četvrtak, 08. Jun 2017, 17:56

Evo da pridodam još jedan način rešavanja ovog zadatka, budući da su prijemni aktuelni možda nekome pomogne.
Iz sinusne teoreme dobijamo:
[dispmath]\frac{a}{\sin20^\circ}=\frac{b}{\sin80^\circ}\;\Longrightarrow\;\frac{b}{a}=\frac{\sin80^\circ}{\sin20^\circ}[/dispmath] Dok iz kosinusne teoreme dobijamo:
[dispmath]a^2=b^2+b^2-2b^2\cdot\cos20^\circ\\
a^2=2b^2(1-\cos20^\circ)\;\Longrightarrow\;\frac{a^2}{b^2}=2\cdot(1-\cos20^\circ)[/dispmath] Pa traženi izraz postaje:
[dispmath]\frac{b}{a}+\frac{a^2}{b^2}=\frac{\sin80^\circ}{\sin20^\circ}+2\cdot(1-\cos20^\circ)=\frac{\sin80^\circ}{\sin20^\circ}+2-2\cos20^\circ[/dispmath] Nakon što ovo svedemo na zajednički dobijamo:
[dispmath]2+\frac{\sin80^\circ}{\sin20^\circ}-\frac{2\cos20^\circ\sin20^\circ}{\sin20^\circ}=2+\frac{\sin80^\circ-\sin40^\circ}{\sin20^\circ}[/dispmath] Potom možemo, u brojiocu, primeniti formulu za transformisanje zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod [inlmath]\sin80^\circ-\sin40^\circ=2\cos60^\circ\sin20^\circ=\sin20^\circ[/inlmath] i kada ovo uvrstimo dobijamo:
[dispmath]2+\frac{\sin20^\circ}{\sin20^\circ}=2+1=\enclose{box}{3}[/dispmath]
Moderator
 
Postovi: 305
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 338 puta

Jednakokraki trougao i njegove stranice

Postod Joker » Subota, 15. Jun 2019, 13:44

* MOD EDIT * Spojene dve teme s istim zadatkom

U jednakokrakom trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] je
[dispmath]AB=BC=b,\;AC=a,\;\angle ABC=20^\circ[/dispmath] Odrediti vrijednost
[dispmath]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}[/dispmath] Dakle uglovi kod osnovice su po [inlmath]80^\circ[/inlmath]
Možda bi moglo pomoći ako bi rastavio datu formulu na
[dispmath]\frac{a^3+b^3}{a\cdot b^2}=\frac{(a+b)\cdot\left(a^2-a\cdot b+b^2\right)}{a\cdot b^2}[/dispmath] Svaka ideja mi je dobrodosla.
Joker  OFFLINE
BANOVAN (klon)
 
Postovi: 17
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Jednakokraki trougao i njegove stranice

Postod Jovan111 » Subota, 15. Jun 2019, 16:18

Pozdrav! Ovaj zadatak je već urađen ovde. Ovo je zadatak sa prijemnog za ETF, te ako si to prethodno znao, morao si naglasiti da je zadatak sa prijemnog (podaci o fakultetu, godina prijemnog ispita i sl), a pogotovo nije trebalo da otvaraš novu temu bez da prethodno proveriš da li postoji već taj zadatak u nekoj od tema na forumu (što bi se moglo razumeti, ako nisi našao).



P.S. Jako je važno da napišeš koje je rešenje zadatka, ako znaš rešenje (što mogu pretpostaviti iz činjenice da je moguće da si znao da je zadatak sa prijemnog ispita u pitanju). Takođe, ovde veze nema sa analitičkom geometrijom - trebalo je da zadatak staviš u rubriku geometrija :D
Korisnikov avatar
Moderator
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 156 puta

Re: Jednakokraki trougao i njegove stranice

Postod Joker » Subota, 15. Jun 2019, 21:39

Da jeste sa prijemnog za ETF ali mi nije uradjen u zbirci vec mi je samo ponudjeno rjesenje. Nisam znao da se mora zakaciti i izvor tako da ubuduce necu ciniti istu gresku ;) U svakom slucaju hvala :)
Joker  OFFLINE
BANOVAN (klon)
 
Postovi: 17
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 19. Avgust 2019, 10:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs