Stranica 1 od 1

Stranice jednakokrakog trougla – prijemni ETF 2015.

PostPoslato: Nedelja, 26. Jun 2016, 14:51
od extremesportist
Prijemni ispit ETF – 29. jun 2015.
17. zadatak


U jednakokrakom trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] je [inlmath]AB=BC=b[/inlmath], [inlmath]AC=a[/inlmath] i [inlmath]\angle ABC=20^\circ[/inlmath]. Tada je izraz [inlmath]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}[/inlmath] jednak:

Rešenje: [inlmath]3[/inlmath]

Pošto imamo jedan ugao jednakokrakog trougla jasno je da su ostala 2 jednaka i iznose [inlmath]80^\circ[/inlmath]. Pokušao sam da iskoristim sinusnu ili kosinusnu teoremu i na taj način izrazim jednu stranicu preko druge, ali nisam uspeo.

Hvala unapred

Re: Stranice jednakokrakog trougla – prijemni ETF 2015.

PostPoslato: Nedelja, 26. Jun 2016, 16:32
od Daniel
Treba uvek da napišeš to dokle si stigao, kako bismo znali gde da nastavimo. Ali OK, pretpostaviću da si preko sinusne teoreme došao do koraka
[dispmath]\frac{a}{b}=\frac{\sin20^\circ}{\cos10^\circ}=2\sin10^\circ[/dispmath] a odatle do
[dispmath]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}=\frac{8\sin^310^\circ+1}{2\sin10^\circ}\tag1[/dispmath] Ovaj sinus od [inlmath]10^\circ[/inlmath] bilo bi zgodno sada nekako predstaviti kao sinus trećine ugla od [inlmath]30^\circ[/inlmath], jer je [inlmath]30^\circ[/inlmath] karakterističan ugao i za njega znamo vrednosti trigonometrijskih funkcija. Krenimo od sinusa trostrukog ugla [inlmath]\sin3x[/inlmath] i njega izrazimo preko [inlmath]\sin x[/inlmath], pa ćemo samim tim onda imati i obrnutu vezu – između [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\sin3x[/inlmath].
[dispmath]\sin3x=\sin\left(2x+x\right)=\overset{\text{(adiciona formula)}}{\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots}=3\sin x-4\sin^3x\\
\Rightarrow\quad4\sin^3x=3\sin x-\sin3x\\
\Rightarrow\quad4\sin^310^\circ=3\sin10^\circ-\underbrace{\sin30^\circ}_{\frac{1}{2}}[/dispmath] E sad to uvrsti u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i dobićeš
[dispmath]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}=\frac{2\left(3\sin10^\circ-\frac{1}{2}\right)+1}{2\sin10^\circ}[/dispmath] Dalje je lako.

Re: Stranice jednakokrakog trougla – prijemni ETF 2015.

PostPoslato: Četvrtak, 08. Jun 2017, 16:56
od Corba248
Evo da pridodam još jedan način rešavanja ovog zadatka, budući da su prijemni aktuelni možda nekome pomogne.
Iz sinusne teoreme dobijamo:
[dispmath]\frac{a}{\sin20^\circ}=\frac{b}{\sin80^\circ}\;\Longrightarrow\;\frac{b}{a}=\frac{\sin80^\circ}{\sin20^\circ}[/dispmath] Dok iz kosinusne teoreme dobijamo:
[dispmath]a^2=b^2+b^2-2b^2\cdot\cos20^\circ\\
a^2=2b^2(1-\cos20^\circ)\;\Longrightarrow\;\frac{a^2}{b^2}=2\cdot(1-\cos20^\circ)[/dispmath] Pa traženi izraz postaje:
[dispmath]\frac{b}{a}+\frac{a^2}{b^2}=\frac{\sin80^\circ}{\sin20^\circ}+2\cdot(1-\cos20^\circ)=\frac{\sin80^\circ}{\sin20^\circ}+2-2\cos20^\circ[/dispmath] Nakon što ovo svedemo na zajednički dobijamo:
[dispmath]2+\frac{\sin80^\circ}{\sin20^\circ}-\frac{2\cos20^\circ\sin20^\circ}{\sin20^\circ}=2+\frac{\sin80^\circ-\sin40^\circ}{\sin20^\circ}[/dispmath] Potom možemo, u brojiocu, primeniti formulu za transformisanje zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod [inlmath]\sin80^\circ-\sin40^\circ=2\cos60^\circ\sin20^\circ=\sin20^\circ[/inlmath] i kada ovo uvrstimo dobijamo:
[dispmath]2+\frac{\sin20^\circ}{\sin20^\circ}=2+1=\enclose{box}{3}[/dispmath]

Jednakokraki trougao i njegove stranice

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 12:44
od Joker
* MOD EDIT * Spojene dve teme s istim zadatkom

U jednakokrakom trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] je
[dispmath]AB=BC=b,\;AC=a,\;\angle ABC=20^\circ[/dispmath] Odrediti vrijednost
[dispmath]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}[/dispmath] Dakle uglovi kod osnovice su po [inlmath]80^\circ[/inlmath]
Možda bi moglo pomoći ako bi rastavio datu formulu na
[dispmath]\frac{a^3+b^3}{a\cdot b^2}=\frac{(a+b)\cdot\left(a^2-a\cdot b+b^2\right)}{a\cdot b^2}[/dispmath] Svaka ideja mi je dobrodosla.

Re: Jednakokraki trougao i njegove stranice

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 15:18
od Jovan111
Pozdrav! Ovaj zadatak je već urađen ovde. Ovo je zadatak sa prijemnog za ETF, te ako si to prethodno znao, morao si naglasiti da je zadatak sa prijemnog (podaci o fakultetu, godina prijemnog ispita i sl), a pogotovo nije trebalo da otvaraš novu temu bez da prethodno proveriš da li postoji već taj zadatak u nekoj od tema na forumu (što bi se moglo razumeti, ako nisi našao).



P.S. Jako je važno da napišeš koje je rešenje zadatka, ako znaš rešenje (što mogu pretpostaviti iz činjenice da je moguće da si znao da je zadatak sa prijemnog ispita u pitanju). Takođe, ovde veze nema sa analitičkom geometrijom - trebalo je da zadatak staviš u rubriku geometrija :D

Re: Jednakokraki trougao i njegove stranice

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2019, 20:39
od Joker
Da jeste sa prijemnog za ETF ali mi nije uradjen u zbirci vec mi je samo ponudjeno rjesenje. Nisam znao da se mora zakaciti i izvor tako da ubuduce necu ciniti istu gresku ;) U svakom slucaju hvala :)