Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Moderator: Corba248

Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

Postod Daniel » Petak, 01. Jul 2016, 01:15

Prijemni ispit ETF - 27. jun 2016.
20. zadatak


Ukupan broj realnih rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\cos x+\cos2x+2\cos^2\frac{3x}{2}+\cos4x=\frac{1}{2}[/inlmath] na segmentu [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath] jednak je:
Rezultat glasi: [inlmath]8[/inlmath]

Dosta ljudi me pitalo za ovaj zadatak, koji je kanda bio jedan od najvećih kamena spoticanja na ovogodišnjem prijemnom za ETF. Pa haj'mo da ga rešimo.

Ovaj kvadrat kosinusa nas odmah na početku nekako „vuče“ da ga napišemo preko formule za kosinus polovine ugla, [inlmath]2\cos^2\frac{\alpha}{2}=1+\cos\alpha[/inlmath]:
[dispmath]2\cos^2\frac{3x}{2}=1+\cos3x[/dispmath]
te naša jednačina postaje
[dispmath]\cos x+\cos2x+1+\cos3x+\cos4x=\frac{1}{2}[/dispmath]
Malo to pregrupišemo,
[dispmath]\cos x+\cos3x+\underbrace{\cos2x+\cos4x}+\frac{1}{2}=0[/dispmath]
Na ovo [inlmath]\cos2x+\cos4x[/inlmath] primenimo transformaciju zbira kosinusa u proizvod, [inlmath]\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}[/inlmath]:
[dispmath]\cos x+\cos3x+2\cos3x\cos x+\frac{1}{2}=0[/dispmath]
pa sad grupišemo sabirke koji sadrže [inlmath]\cos x[/inlmath] i sabirke koji ne sadrže [inlmath]\cos x[/inlmath]:
[dispmath]\cos x+2\cos3x\cos x+\cos3x+\frac{1}{2}=0\\
\cos x\left(1+2\cos3x\right)+\frac{1}{2}\left(2\cos3x+1\right)=0[/dispmath]
Izvučemo zajednički faktor [inlmath]\left(1+2\cos3x\right)[/inlmath],
[dispmath]\left(1+2\cos3x\right)\left(\cos x+\frac{1}{2}\right)=0\\
\cos3x=-\frac{1}{2}\quad\lor\quad\cos x=-\frac{1}{2}\\
\vdots[/dispmath]
Dalje je lako...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7735
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4060 puta
Pohvaljen: 4122 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

Postod Daniel » Ponedeljak, 02. Jul 2018, 16:05

Nakon što se došlo do koraka [inlmath]\cos x+\cos2x+\cos3x+\cos4x+\frac{1}{2}=0[/inlmath], tu jednačinu je moguće rešiti na još jedan zanimljiv način, za koji je uputstvo dato u ovoj temi.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7735
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4060 puta
Pohvaljen: 4122 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 10 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 21. Oktobar 2019, 17:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs