Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

PostPoslato: Petak, 01. Jul 2016, 00:15
od Daniel
Prijemni ispit ETF - 27. jun 2016.
20. zadatak


Ukupan broj realnih rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\cos x+\cos2x+2\cos^2\frac{3x}{2}+\cos4x=\frac{1}{2}[/inlmath] na segmentu [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath] jednak je:
Rezultat glasi: [inlmath]8[/inlmath]

Dosta ljudi me pitalo za ovaj zadatak, koji je kanda bio jedan od najvećih kamena spoticanja na ovogodišnjem prijemnom za ETF. Pa haj'mo da ga rešimo.

Ovaj kvadrat kosinusa nas odmah na početku nekako „vuče“ da ga napišemo preko formule za kosinus polovine ugla, [inlmath]2\cos^2\frac{\alpha}{2}=1+\cos\alpha[/inlmath]:
[dispmath]2\cos^2\frac{3x}{2}=1+\cos3x[/dispmath]
te naša jednačina postaje
[dispmath]\cos x+\cos2x+1+\cos3x+\cos4x=\frac{1}{2}[/dispmath]
Malo to pregrupišemo,
[dispmath]\cos x+\cos3x+\underbrace{\cos2x+\cos4x}+\frac{1}{2}=0[/dispmath]
Na ovo [inlmath]\cos2x+\cos4x[/inlmath] primenimo transformaciju zbira kosinusa u proizvod, [inlmath]\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}[/inlmath]:
[dispmath]\cos x+\cos3x+2\cos3x\cos x+\frac{1}{2}=0[/dispmath]
pa sad grupišemo sabirke koji sadrže [inlmath]\cos x[/inlmath] i sabirke koji ne sadrže [inlmath]\cos x[/inlmath]:
[dispmath]\cos x+2\cos3x\cos x+\cos3x+\frac{1}{2}=0\\
\cos x\left(1+2\cos3x\right)+\frac{1}{2}\left(2\cos3x+1\right)=0[/dispmath]
Izvučemo zajednički faktor [inlmath]\left(1+2\cos3x\right)[/inlmath],
[dispmath]\left(1+2\cos3x\right)\left(\cos x+\frac{1}{2}\right)=0\\
\cos3x=-\frac{1}{2}\quad\lor\quad\cos x=-\frac{1}{2}\\
\vdots[/dispmath]
Dalje je lako...

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

PostPoslato: Ponedeljak, 02. Jul 2018, 15:05
od Daniel
Nakon što se došlo do koraka [inlmath]\cos x+\cos2x+\cos3x+\cos4x+\frac{1}{2}=0[/inlmath], tu jednačinu je moguće rešiti na još jedan zanimljiv način, za koji je uputstvo dato u ovoj temi.

Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

PostPoslato: Ponedeljak, 06. Jul 2020, 18:57
od Griezzmiha
* MOD EDIT * Spojene dve teme s istim zadatkom

Znam da ima vec nekoliko stranica vezanih za ovaj zadatak...Ja ga sredih nekako drugacije od svih ponudjenih stranica. Ne znam jesam li negde pogresio eventualno, ali u svakom slucaju evo mog postupka i koraka gde sam zapeo.
[dispmath]\cos x+\cos2x+2\cos^2\frac{3x}{2}+\cos4x=\frac{1}{2}[/dispmath] I opseg [inlmath][0;2\pi][/inlmath]
Zatim sam lagano sredio [inlmath]\cos2x=\cos^2x-\sin^2x[/inlmath] pa ce biti...
[dispmath]\cos x+\cos^2x-\sin^2x+2\cos\frac{3x}{2}+\cos4x=\frac{1}{2}[/dispmath] Onda sredim [inlmath]\sin^2x=1-\cos^2x[/inlmath] pa ce zapravo [inlmath]\cos2x[/inlmath] biti [inlmath]2\cos^2x-1[/inlmath]... Pa to i zapisem u celom izrazu
[dispmath]\cos x+2\cos^2x-1+2\cos^2\frac{3x}{2}+\cos4x=\frac{1}{2}[/dispmath] Onda individualno sredjujem i [inlmath]2\cos^2\frac{3x}{2}[/inlmath]...

Formulom za polovinu ugla dobijam sledece [inlmath]1+\cos3x[/inlmath]...

Onda sredjujem i [inlmath]\cos4x[/inlmath]...
[dispmath]\cos 4x=\cos^22x-\sin^22x=\left(\cos^2x-\sin^2x\right)^2-\left(1-\cos^22x\right)=\\
=\left(\cos^2x-\left(1-\cos^2x\right)\right)^2-\left(1-\cos^22x\right)=\left(\cos^2x-1+\cos^2x\right)^2-\left(1-\left(\cos^2x-\sin^2x\right)^2\right)=\\
=\left(2\cos^2x-1\right)^2-\left(1-\left(\cos^2x-\left(1-\cos^2x\right)\right)^2\right)=\left(2\cos^2x-1\right)^2-\left(1-\left(\cos^2x-1+\cos^2x\right)^2\right)=\\
=\left(2\cos^2x-1\right)^2-\left(1-\left(2\cos^2x-1\right)^2\right)=\\
=\left(2\cos^2x-1\right)^2-1+\left(2\cos^2x-1\right)^2=2\cdot\left(2\cos^2x-1\right)^2-1[/dispmath] pa je i ta transformacija gotova... Pa ce biti
[dispmath]\cos x+2\cos^2x-1+1+\cos3x+2\cdot\left(2\cos^2x-1\right)^2-1=\frac{1}{2}[/dispmath] Zatim...
[dispmath]\cos x+2\cos^2x+\cos3x+2\cdot\left(2\cos^2x-1\right)^2-1=\frac{1}{2}[/dispmath] Zatim sredjujem izraz [inlmath]2\cdot\left(2\cos^2x-1\right)^2[/inlmath] pa je to jednako [inlmath]2\cdot\left(4\cos^4x-4\cos^2x+1\right)=8\cos^4x-8\cos^2x+2[/inlmath].......... I naravno [inlmath]\cos3x=4\cos^3x-3\cos x[/inlmath]

Nakon svega bice..
[dispmath]4\cos^3x+2\cos^2x-2\cos x+8\cos^4x-8\cos^2x+2-1=\frac{1}{2}[/dispmath] Odnosno
[dispmath]8\cos^4x+4\cos^3x-6\cos^2x-2\cos x+1=\frac{1}{2}[/dispmath] Dobijam ovaj izraz koji nemam pojma kako bih uradio, nije konkretno problem vezan za trigonometriju vec uopste resavanje jednacina cetvrtog stepena.. Zaista nemam ideju kako bih... :unsure:

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

PostPoslato: Ponedeljak, 06. Jul 2020, 19:07
od Srdjan01
Pozdrav, zadatak se nalazi ovdje :)

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

PostPoslato: Ponedeljak, 06. Jul 2020, 19:45
od Griezzmiha
Znam da se postupak, i verovatno laksi nacin za resavanje nalazi na linku koji si prosledio... Video sam tu objavu, ali ipak mi je nekako bilo ociglednije da ceo pocetni izraz razvucem na nacin koji sam pokazao... Zanima me valja li ovo sto sam radio, posto vidim da se ovaj postupak ne nalazi nigde na forumu...

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

PostPoslato: Ponedeljak, 06. Jul 2020, 20:58
od Daniel
Postupak ti jeste dobar u smislu da nema grešaka, a ako je tvoje pitanje da li je sama ideja dobra, odgovor na to je upravo činjenica da si dobio jednačinu četvrtog stepena s kojom ne znaš šta ćeš. :)

I, hajde da se dogovorimo da ne dupliramo isti zadatak na različitim temama.

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

PostPoslato: Ponedeljak, 06. Jul 2020, 21:09
od Griezzmiha
Daniel je napisao:I, hajde da se dogovorimo da ne dupliramo isti zadatak na različitim temama.

Vazi se, nema problema, izvinjavam se.

Pretpostavljam da se nekako jednacina cetvrtog stepena moze resiti, znam da se radi faktorizacija i izraz predstavi preko dve zagrade (mada se slabo snalazim sa tim)... Nevezano za ovaj zadatak, ali i radi njega svakako, znatizeljan sam. Kako bi je resio? Kubna se ako se ne varam resava na osnovu deljivosti slobodnog clana [inlmath]a_0[/inlmath] ali za jednacinu cetvrtog stepena stvarno nemam pojma.

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni ETF 2016.

PostPoslato: Utorak, 07. Jul 2020, 08:17
od Daniel
Sve te metode „napipavanja“, nezavisno od toga kog je stepena jednačina, padaju u vodu ako nemaš nijedno celobrojno rešenje, kao što je ovde slučaj.

Iz ranijih postova ove teme vidi se da nijedno rešenje ove jednačine po [inlmath]\cos x[/inlmath] nije celobrojno.

Jednačine do četvrtog stepena se, doduše, mogu rešiti analitički, ali je formula za njihovo rešavanje još komplikovanija od formule za rešavanje jednačine trećeg stepena.