Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Izračunati izraz

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Re: Izračunati izraz

Postod Ilija » Nedelja, 07. Februar 2016, 21:41

smAshh je napisao:[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}[/dispmath]

Napisacu ovde i drugo resenje za ovaj zadatak, mozda ce nekom biti jednostavnije za shvatanje od gore navedenog Danielovog.
(Izvor: Zbirka resenih testova iz matematike, Dobrilo Dj. Tosic, Nina D. Stankovic)



Resenje se zasniva na koriscenju sume geometrijske progresije i Moavrove formule. Polazeci od geometrijske progresije [inlmath]1+x+x^2+x^3+x^4[/inlmath] mogu se izracunati [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\cos\frac{4\pi}{5}[/inlmath]. Suma geometrijske progresije je:
[dispmath]1+x+x^2+x^3+x^4=\frac{x^5-1}{x-1}\qquad(1)[/dispmath]
Ako stavimo [inlmath]z=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5},\enspace(i=\sqrt{-1})[/inlmath], tada je na osnovu Moavrove formule:
[dispmath]z^5=\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)^5=\cos{2\pi}+i\sin{2\pi}=1[/dispmath]
Polazeci od jednakosti [inlmath](1)[/inlmath], imamo [inlmath]1+z+z^2+z^3+z^4=0[/inlmath] (jer je [inlmath]z^5=1[/inlmath]), Ako ovu jednacinu podelimo sa [inlmath]z^2[/inlmath], dobijamo
[dispmath]z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1=0[/dispmath]
Smenom [inlmath]z+\frac{1}{z}=t[/inlmath], za koju je [inlmath]z^2+\frac{1}{z^2}=t^2-2[/inlmath], poslednja jednacina se svodi na
[dispmath]t^2+t-1=0[/dispmath]
Ova jednacina ima dva resenja [inlmath]t_1=\frac{-1+\sqrt5}{2},\enspace t_2=\frac{-1-\sqrt5}{2}[/inlmath].

Posto smo uzeli da je [inlmath]z=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5},\enspace(i=\sqrt{-1})[/inlmath], primetimo da je:
[dispmath]\frac{1}{z}=\frac{1}{\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}}=\cos\frac{2\pi}{5}-i\sin\frac{2\pi}{5}[/dispmath]
jer je [inlmath]\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)\left(\cos\frac{2\pi}{5}-i\sin\frac{2\pi}{5}\right)=1[/inlmath].

Na osnovu toga je:
[dispmath]z+\frac{1}{z}=2\cos\frac{2\pi}{5}[/dispmath]
Posto je [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}=\cos72^\circ>0[/inlmath], zakljucujemo da je:
[dispmath]z+\frac{1}{z}=2\cos\frac{2\pi}{5}=t_1=\frac{-1+\sqrt5}{2}[/dispmath]
Prema tome, [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{-1+\sqrt5}{4}[/inlmath].

Primenom formule [inlmath]\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1[/inlmath] za [inlmath]\alpha=\frac{2\pi}{5}[/inlmath] imamo:
[dispmath]\cos\frac{4\pi}{5}=2\cos^2\left(\frac{2\pi}{5}\right)-1=2\cdot\left(\frac{-1+\sqrt5}{4}\right)^2-1=\frac{-1-\sqrt5}{4}[/dispmath]
Dakle:
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=\frac{-1+\sqrt5}{4}+\frac{-1-\sqrt5}{4}=-\frac{1}{2}[/dispmath]


Mozda je malo poduze, ali ce koristiti. :thumbup:
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Izračunati izraz

Postod Ilija » Nedelja, 07. Februar 2016, 23:08

Ilija je napisao:Resenje se zasniva na koriscenju sume geometrijske progresije i Moavrove formule. Polazeci od geometrijske progresije [inlmath]1+x+x^2+x^3+x^4[/inlmath] mogu se izracunati [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\cos\frac{4\pi}{5}[/inlmath].

Napomenuo bih samo da je u tekstu zadataka (u zbirci iz koje sam i naveo resenje), predlozeno da se resenje zasniva na koriscenju navedene geometrijske progresije (naravno, nije uslovljeno koriscenje iste, pa se zadatak moze resiti i Danielovim nacinom).
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

  • +1

Re: Izračunati izraz

Postod Daniel » Ponedeljak, 08. Februar 2016, 00:04

Veliko hvala za ovo rešenje, vrlo je zanimljivo, nisam siguran da bi mi ovaj način ikad pao na pamet. :thumbup:

Jedino, moram da naglasim da se imaginarna jedinica nikako ne definiše kao [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] kako je ovde napisano na dva mesta, već kao [inlmath]i^2=-1[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Izračunati izraz

Postod Herien Wolf » Subota, 14. Maj 2016, 13:14

Takodje dodao bih jos jedan nacin, koji sam koristio u slicnom zadatku.
Rec je o aproksimaciji funkcija [inlmath]f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\cdot\Delta x[/inlmath]
Konkretno u ovom zadatku pocetni izraz cemo malo srediti [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=\cos\frac{2\pi}{5}+2\cos^2\frac{2\pi}{5}-1[/inlmath]
Prvo izdvajamo [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}=2\cos^2\frac{\pi}{5}-1[/inlmath]
Da bismo izracunali [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] moramo prvo izracunati [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{30}\right)\approx\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{6}\cdot\frac{\pi}{30}\\
\cos\frac{\pi}{5}\approx\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{60}\\
\cos\frac{\pi}{5}\approx0.81\\
\Rightarrow\quad\cos\frac{2\pi}{5}\approx2\left(0.81\right)^2 -1\\
\cos\frac{2\pi}{5}\approx0.31[/dispmath]
Nakon ovoga vrednost [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] uvodimo u [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}+2\cos^2\frac{2\pi}{5}-1[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}\approx0.31+2\left(0.31\right)^2-1\\
\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}\approx0.31+0.19-1\\
\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}\approx-0.5\\
\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}\approx-\frac {1}{2}[/dispmath]
Kod aproksimacije funkcija [inlmath]\Delta x[/inlmath] treba da bude jako mali broj ali u ovom slucaju iako [inlmath]\Delta x[/inlmath] nije bilo bas mali broj greska u vrednosti [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath] je priblizno [inlmath]0.004[/inlmath]
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 213 puta

  • +1

Re: Izračunati izraz

Postod Daniel » Subota, 14. Maj 2016, 17:12

Razmišljanje ti je super, :thumbup: naravno, treba naglasiti da je ovo, uopšte gledano, približno rešenje (iako se u ovom konkretnom slučaju zaista na kraju dobije tačna vrednost).

I, zar ne bi bilo jednostavnije (i, u opštem slučaju preciznije), ovako:
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=\cos\frac{2\pi}{5}-\cos\frac{\pi}{5}=2\cos^2\frac{\pi}{5}-1-\cos\frac{\pi}{5}=\cos\frac{\pi}{5}\left(2\cos\frac{\pi}{5}-1\right)-1[/dispmath]
Vrednost [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath] si već približno odredio, tako da je to dalje:
[dispmath]\cos\frac{\pi}{5}\left(2\cos\frac{\pi}{5}-1\right)-1\approx0,81\left(2\cdot0,81-1\right)-1\approx-0,5[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izračunati izraz

Postod Herien Wolf » Subota, 14. Maj 2016, 17:20

Hvala :D
Slazem se da je tako jednostavnije pretvoriti [inlmath]\cos\frac{4\pi}{5}[/inlmath] preko [inlmath]\cos\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)=-\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath] :D
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 213 puta

  • +1

Re: Izračunati izraz

Postod Frank » Utorak, 19. Novembar 2019, 16:35

smAshh je napisao:[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}[/dispmath]

Ovaj problem možemo rešiti i na sledeći način:
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=2\cos\frac{3\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}=2\cos108^\circ\cos36^\circ=[/dispmath][dispmath]=2\cos(90^\circ+18^\circ)\cos2\cdot18^\circ=-2\sin18^\circ\left(\cos^218^\circ-\sin^218^\circ\right)=[/dispmath][dispmath]=-2\sin18^\circ\left(1-2\sin^218^\circ\right)[/dispmath] Sada ostaje još samo da izračunamo [inlmath]\sin18^\circ[/inlmath] koji možemo izračunati služeći se jednakošću
[dispmath]\sin36^\circ=\cos54^\circ[/dispmath] To jest
[dispmath]\sin2\cdot18^\circ=\cos3\cdot18^\circ[/dispmath][dispmath]\sin2\cdot18^\circ=\cos(2\cdot18^\circ+18^\circ)[/dispmath][dispmath]2\sin18^\circ\cos18^\circ=\cos2\cdot18^\circ\cos18^\circ-\sin2\cdot18^\circ\sin18^\circ[/dispmath][dispmath]2\sin18^\circ\cos18^\circ=\left(\cos^218^\circ-\sin^218^\circ\right)\cos18^\circ-2\sin^218^\circ\cos18^\circ\hspace{5mm}\large/\cos18^\circ[/dispmath][dispmath]2\sin18^\circ=1-4\sin^218^\circ[/dispmath][dispmath]4\sin^218^\circ+2\sin18^\circ-1=0[/dispmath][dispmath]\sin18^\circ_{1/2}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{8}=\frac{-2\pm2\sqrt5}{8}[/dispmath] Posto se je [inlmath]\angle\sin18^\circ[/inlmath] ostar sledi
[dispmath]\large\enclose{box}{\sin18^\circ=\frac{-1+\sqrt5}{4}}[/dispmath] Sada ovu vrednost ubacujemo u izraz
[dispmath]-2\sin18^\circ\left(1-2\sin^218^\circ\right)[/dispmath][dispmath]=-\cancel2\frac{-1+\sqrt5}{\cancelto{2}{4}}\left(1-2\left(\frac{-1+\sqrt5}{4}\right)^2\right)[/dispmath][dispmath]=\frac{1-\sqrt5}{2}\left(1-2\frac{1-2\sqrt5+5}{16}\right)[/dispmath][dispmath]\frac{1-\sqrt5}{2}\left(1-\cancel2\frac{\cancel2\left(3-\sqrt5\right)}{\cancelto{4}{16}}\right)[/dispmath][dispmath]=\frac{1-\sqrt5}{2}\cdot\frac{4-3+\sqrt5}{4}[/dispmath][dispmath]=\frac{\left(1-\sqrt5\right)\left(1+\sqrt5\right)}{8}[/dispmath][dispmath]=\frac{1^2-\sqrt5^2}{8}=\frac{1-5}{8}=-\frac{\cancel4}{\cancel8}=-\frac{1}{2}[/dispmath] Dakle
[dispmath]\enclose{box}{\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=2\sin18^\circ\left(1-2\sin^218^\circ\right)=-\frac{1}{2}}[/dispmath]
Poslednji put menjao Frank dana Utorak, 19. Novembar 2019, 16:38, izmenjena samo jedanput
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Izračunati izraz

Postod Frank » Utorak, 19. Novembar 2019, 19:18

Daniel je napisao:[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}=\cos^2\frac{2\pi}{5}-\sin^2\frac{2\pi}{5}=\cos^2\frac{2\pi}{5}-\left(1-\cos^2\frac{2\pi}{5}\right)=[/dispmath]

Da li možda treba da stoji
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}=\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^2\frac{\pi}{5}=\cos^2\frac{\pi}{5}-\left(1-\cos^2\frac{\pi}{5}\right)=[/dispmath]
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Izračunati izraz

Postod Daniel » Utorak, 19. Novembar 2019, 21:32

Ne možda, već sigurno. Hvala na primedbi, ispravio sam. :thumbup:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Izračunati izraz

Postod Frank » Nedelja, 18. Oktobar 2020, 21:03

smAshh je napisao:[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}[/dispmath]

Pade mi na pamet još jedan način na koji možemo rešiti citirani zadatak.
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=\cos\left(\pi-\frac{3\pi}{5}\right)+\cos\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)=-\left(\cos\frac{3\pi}{5}+\cos\frac{\pi}{5}\right)=\\
=\frac{-2\sin\frac{\pi}{5}\left(\cos\frac{3\pi}{5}+\cos\frac{\pi}{5}\right)}{2\sin\frac{\pi}{5}}=\frac{-\left(2\sin\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{3\pi}{5}+2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}\right)}{2\sin\frac{\pi}{5}}=\\
=\frac{-\left(\sin\frac{4\pi}{5}-\cancel{\sin\frac{2\pi}{5}}+\cancel{\sin\frac{2\pi}{5}}\right)}{2\sin\frac{\pi}{5}}=\frac{-\sin\frac{4\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}}=-\frac{\cancel{\cos\frac{3\pi}{10}}}{2\cancel{\cos\frac{3\pi}{10}}}=\enclose{box}{-\frac{1}{2}}[/dispmath] Čak četvrti način, al' neće da škodi. :P
Mislim da se logika po kojoj sam išao može naslutiti, tako da nema potrebe da dodatno pojašnjavam.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 42 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 13:25 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs