smAshh je napisao:[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}[/dispmath]
Napisacu ovde i drugo resenje za ovaj zadatak, mozda ce nekom biti jednostavnije za shvatanje od gore navedenog Danielovog.
(Izvor: Zbirka resenih testova iz matematike, Dobrilo Dj. Tosic, Nina D. Stankovic)
Resenje se zasniva na koriscenju sume geometrijske progresije i Moavrove formule. Polazeci od geometrijske progresije [inlmath]1+x+x^2+x^3+x^4[/inlmath] mogu se izracunati [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\cos\frac{4\pi}{5}[/inlmath]. Suma geometrijske progresije je:
[dispmath]1+x+x^2+x^3+x^4=\frac{x^5-1}{x-1}\qquad(1)[/dispmath]
Ako stavimo [inlmath]z=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5},\enspace(i=\sqrt{-1})[/inlmath], tada je na osnovu Moavrove formule:
[dispmath]z^5=\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)^5=\cos{2\pi}+i\sin{2\pi}=1[/dispmath]
Polazeci od jednakosti [inlmath](1)[/inlmath], imamo [inlmath]1+z+z^2+z^3+z^4=0[/inlmath] (jer je [inlmath]z^5=1[/inlmath]), Ako ovu jednacinu podelimo sa [inlmath]z^2[/inlmath], dobijamo
[dispmath]z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1=0[/dispmath]
Smenom [inlmath]z+\frac{1}{z}=t[/inlmath], za koju je [inlmath]z^2+\frac{1}{z^2}=t^2-2[/inlmath], poslednja jednacina se svodi na
[dispmath]t^2+t-1=0[/dispmath]
Ova jednacina ima dva resenja [inlmath]t_1=\frac{-1+\sqrt5}{2},\enspace t_2=\frac{-1-\sqrt5}{2}[/inlmath].
Posto smo uzeli da je [inlmath]z=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5},\enspace(i=\sqrt{-1})[/inlmath], primetimo da je:
[dispmath]\frac{1}{z}=\frac{1}{\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}}=\cos\frac{2\pi}{5}-i\sin\frac{2\pi}{5}[/dispmath]
jer je [inlmath]\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)\left(\cos\frac{2\pi}{5}-i\sin\frac{2\pi}{5}\right)=1[/inlmath].
Na osnovu toga je:
[dispmath]z+\frac{1}{z}=2\cos\frac{2\pi}{5}[/dispmath]
Posto je [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}=\cos72^\circ>0[/inlmath], zakljucujemo da je:
[dispmath]z+\frac{1}{z}=2\cos\frac{2\pi}{5}=t_1=\frac{-1+\sqrt5}{2}[/dispmath]
Prema tome, [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{-1+\sqrt5}{4}[/inlmath].
Primenom formule [inlmath]\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1[/inlmath] za [inlmath]\alpha=\frac{2\pi}{5}[/inlmath] imamo:
[dispmath]\cos\frac{4\pi}{5}=2\cos^2\left(\frac{2\pi}{5}\right)-1=2\cdot\left(\frac{-1+\sqrt5}{4}\right)^2-1=\frac{-1-\sqrt5}{4}[/dispmath]
Dakle:
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=\frac{-1+\sqrt5}{4}+\frac{-1-\sqrt5}{4}=-\frac{1}{2}[/dispmath]
Mozda je malo poduze, ali ce koristiti.