Vrlo zanimljiv zadatak!
Trenutno nemam neku drugu ideju od ove koju ću sad izložiti, a ako se budem setio još nekog načina, dopisaću.
Posmatramo [inlmath]\sin\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\sin\frac{3\pi}{5}[/inlmath].
Primetimo da su oni jednaki, jer je [inlmath]\sin\frac{3\pi}{5}=\sin\left(\pi-\frac{2\pi}{5}\right)=\sin\frac{2\pi}{5}[/inlmath].
Jedan od njih posmatramo kao sinus dvostrukog ugla, a drugi kao sinus trostrukog ugla.
Formulu sinusa dvostrukog ugla znamo, to je
[dispmath]\sin2x=2\sin x\cos x[/dispmath] Formulu sinusa trostrukog ugla možemo da izvedemo:
[dispmath]\sin3x=\sin\left(2x+x\right)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x=2\sin x\cos^2x+\sin x\cos^2x-\sin^3x=3\sin x\cos^2x-\sin^3x[/dispmath] Sada računamo [inlmath]\sin\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\sin\frac{3\pi}{5}[/inlmath]:
[dispmath]\sin\frac{2\pi}{5}=2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}[/dispmath][dispmath]\sin\frac{3\pi}{5}=3\sin\frac{\pi}{5}\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^3\frac{\pi}{5}[/dispmath] Zatim izjednačimo [inlmath]\sin\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\sin\frac{3\pi}{5}[/inlmath]:
[dispmath]\sin\frac{3\pi}{5}=\sin\frac{2\pi}{5}[/dispmath][dispmath]2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}=3\sin\frac{\pi}{5}\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^3\frac{\pi}{5}[/dispmath] Skratimo [inlmath]\sin\frac{\pi}{5}[/inlmath]:
[dispmath]2\cos\frac{\pi}{5}=3\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^2\frac{\pi}{5}[/dispmath][dispmath]2\cos\frac{\pi}{5}=3\cos^2\frac{\pi}{5}-\left(1-\cos^2\frac{\pi}{5}\right)[/dispmath][dispmath]2\cos\frac{\pi}{5}=4\cos^2\frac{\pi}{5}-1[/dispmath][dispmath]4\cos^2\frac{\pi}{5}-2\cos\frac{\pi}{5}-1=0[/dispmath][dispmath]\left(\cos\frac{\pi}{5}\right)_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4+16}}{8}[/dispmath][dispmath]\left(\cos\frac{\pi}{5}\right)_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt5}{4}[/dispmath] Pošto [inlmath]\frac{\pi}{5}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], kosinus tog ugla mora biti pozitivan, pa negativno rešenje odbacujemo:
[dispmath]\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt5}{4}[/dispmath] Sada računamo [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] kao kosinus dvostrukog ugla:
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}=\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^2\frac{\pi}{5}=\cos^2\frac{\pi}{5}-\left(1-\cos^2\frac{\pi}{5}\right)=[/dispmath][dispmath]=2\cos^2\frac{\pi}{5}-1=2\left(\frac{1+\sqrt5}{4}\right)^2-1=2\frac{1+2\sqrt5+5}{16}-1=\frac{3+\sqrt5}{4}-1=\frac{\sqrt5-1}{4}[/dispmath] Treba da nađemo još i [inlmath]\cos\frac{4\pi}{5}[/inlmath]. Ovo možemo naći tako što ga posmatramo kao dvostruki ugao od [inlmath]\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i primenimo formulu za kosinus dvostrukog ugla, ali je jednostavnije da primetimo da je
[dispmath]\cos\frac{4\pi}{5}=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)=-\cos\frac{\pi}{5}[/dispmath] Prema tome,
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=\cos\frac{2\pi}{5}-\cos\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}-\frac{1+\sqrt5}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}[/dispmath]