Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Izračunati izraz

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Izračunati izraz

Postod smAshh » Utorak, 07. Maj 2013, 12:47

[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}[/dispmath]
smAshh  OFFLINE
 

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Izračunati izraz

Postod blake » Utorak, 07. Maj 2013, 15:22

A da samo izračunaš na kalkulatoru? :mrgreen:
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}[/dispmath]
[dispmath]0.3092+(-0.80902)=-0.5[/dispmath]
Ja drugačije ne znam, ali može se sigurno - nekim trigonometrijskim putem :D
blake  OFFLINE
 
Postovi: 371
Lokacija: Split, Croatia
Zahvalio se: 127 puta
Pohvaljen: 96 puta

  • +1

Re: Izračunati izraz

Postod Daniel » Utorak, 07. Maj 2013, 16:31

Vrlo zanimljiv zadatak! :)
Trenutno nemam neku drugu ideju od ove koju ću sad izložiti, a ako se budem setio još nekog načina, dopisaću.

Posmatramo [inlmath]\sin\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\sin\frac{3\pi}{5}[/inlmath].
Primetimo da su oni jednaki, jer je [inlmath]\sin\frac{3\pi}{5}=\sin\left(\pi-\frac{2\pi}{5}\right)=\sin\frac{2\pi}{5}[/inlmath].
Jedan od njih posmatramo kao sinus dvostrukog ugla, a drugi kao sinus trostrukog ugla.
Formulu sinusa dvostrukog ugla znamo, to je
[dispmath]\sin2x=2\sin x\cos x[/dispmath] Formulu sinusa trostrukog ugla možemo da izvedemo:
[dispmath]\sin3x=\sin\left(2x+x\right)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x=2\sin x\cos^2x+\sin x\cos^2x-\sin^3x=3\sin x\cos^2x-\sin^3x[/dispmath] Sada računamo [inlmath]\sin\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\sin\frac{3\pi}{5}[/inlmath]:
[dispmath]\sin\frac{2\pi}{5}=2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}[/dispmath][dispmath]\sin\frac{3\pi}{5}=3\sin\frac{\pi}{5}\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^3\frac{\pi}{5}[/dispmath] Zatim izjednačimo [inlmath]\sin\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\sin\frac{3\pi}{5}[/inlmath]:
[dispmath]\sin\frac{3\pi}{5}=\sin\frac{2\pi}{5}[/dispmath][dispmath]2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}=3\sin\frac{\pi}{5}\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^3\frac{\pi}{5}[/dispmath] Skratimo [inlmath]\sin\frac{\pi}{5}[/inlmath]:
[dispmath]2\cos\frac{\pi}{5}=3\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^2\frac{\pi}{5}[/dispmath][dispmath]2\cos\frac{\pi}{5}=3\cos^2\frac{\pi}{5}-\left(1-\cos^2\frac{\pi}{5}\right)[/dispmath][dispmath]2\cos\frac{\pi}{5}=4\cos^2\frac{\pi}{5}-1[/dispmath][dispmath]4\cos^2\frac{\pi}{5}-2\cos\frac{\pi}{5}-1=0[/dispmath][dispmath]\left(\cos\frac{\pi}{5}\right)_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4+16}}{8}[/dispmath][dispmath]\left(\cos\frac{\pi}{5}\right)_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt5}{4}[/dispmath] Pošto [inlmath]\frac{\pi}{5}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], kosinus tog ugla mora biti pozitivan, pa negativno rešenje odbacujemo:
[dispmath]\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt5}{4}[/dispmath] Sada računamo [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] kao kosinus dvostrukog ugla:
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}=\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^2\frac{\pi}{5}=\cos^2\frac{\pi}{5}-\left(1-\cos^2\frac{\pi}{5}\right)=[/dispmath][dispmath]=2\cos^2\frac{\pi}{5}-1=2\left(\frac{1+\sqrt5}{4}\right)^2-1=2\frac{1+2\sqrt5+5}{16}-1=\frac{3+\sqrt5}{4}-1=\frac{\sqrt5-1}{4}[/dispmath] Treba da nađemo još i [inlmath]\cos\frac{4\pi}{5}[/inlmath]. Ovo možemo naći tako što ga posmatramo kao dvostruki ugao od [inlmath]\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i primenimo formulu za kosinus dvostrukog ugla, ali je jednostavnije da primetimo da je
[dispmath]\cos\frac{4\pi}{5}=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)=-\cos\frac{\pi}{5}[/dispmath] Prema tome,
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=\cos\frac{2\pi}{5}-\cos\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}-\frac{1+\sqrt5}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izračunati izraz

Postod smAshh » Utorak, 07. Maj 2013, 20:29

Nista mi jasno nije :S
smAshh  OFFLINE
 

Re: Izračunati izraz

Postod Daniel » Utorak, 07. Maj 2013, 23:20

Ja bih ti zaista vrlo rado pomogao i razjasnio sve što treba, ali onda mi moraš postaviti i konkretno pitanje. :?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izračunati izraz

Postod smAshh » Subota, 18. Maj 2013, 17:05

1. Ako je
[dispmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{(1+\mathrm{tg}\:1)(1+\mathrm{tg}\:2)-2}{(1-\mathrm{tg}\:1)(1-\mathrm{tg}\:2)-2}[/dispmath]
[dispmath]\alpha\in(0,90)[/dispmath]
2. [dispmath]4\cos 2000-\frac{1}{\sin 1990}=[/dispmath]
smAshh  OFFLINE
 

Re: Izračunati izraz

Postod Daniel » Subota, 18. Maj 2013, 19:01

smAshh je napisao:1. Ako je
[dispmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{(1+\mathrm{tg}\:1)(1+\mathrm{tg}\:2)-2}{(1-\mathrm{tg}\:1)(1-\mathrm{tg}\:2)-2}[/dispmath]
[dispmath]\alpha\in(0,90)[/dispmath]

Imali smo već takav. Evo, ovde.

smAshh je napisao:2. [dispmath]4\cos 2000-\frac{1}{\sin 1990}=[/dispmath]

[dispmath]4\cos 2000^\circ-\frac{1}{\sin 1990^\circ}=4\cos\left(2000^\circ-6\cdot 360^\circ\right)-\frac{1}{\sin\left(1990^\circ-6\cdot 360^\circ\right)}=[/dispmath][dispmath]=4\cos\left(-160^\circ\right)-\frac{1}{\sin\left(-170^\circ\right)}=4\cos 160^\circ+\frac{1}{\sin 170^\circ}=[/dispmath][dispmath]=-4\cos\left(180^\circ-160^\circ\right)+\frac{1}{\sin\left(180^\circ-170^\circ\right)}=-4\cos 20^\circ+\frac{1}{\sin 10^\circ}=[/dispmath][dispmath]=\frac{-4\sin 10^\circ\cos 20^\circ+1}{\sin 10^\circ}=\frac{-4\cdot\frac{1}{2}\left[\sin\left(10^\circ+20^\circ\right)+\sin\left(10^\circ-20^\circ\right)\right]+1}{\sin 10^\circ}=[/dispmath][dispmath]=\frac{-2\left(\sin 30^\circ-\sin 10^\circ\right)+1}{\sin 10^\circ}=\frac{-2\cdot\frac{1}{2}+2\sin 10^\circ+1}{\sin 10^\circ}=\frac{2\sin 10^\circ}{\sin 10^\circ}=2[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izračunati izraz

Postod ivzo » Četvrtak, 13. Jun 2013, 23:45

Vrednost izraza
[dispmath]\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{3\pi}{8}-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{8}\right)[/dispmath]
je:
ivzo  OFFLINE
 
Postovi: 60
Zahvalio se: 36 puta
Pohvaljen: 10 puta

  • +2

Re: Izračunati izraz

Postod forzajuve » Petak, 14. Jun 2013, 00:40

[dispmath]\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{3\pi}{8}-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{8}\right)[/dispmath]
[dispmath]\frac{\cos\frac{3\pi}{8}}{\cos\frac{\pi}{8}}-\frac{\sqrt 2\cos\frac{\pi}{8}}{\cos\frac{\pi}{8}}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)}{\cos\frac{\pi}{8}}-\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sin\frac{\pi}{8}}{\cos\frac{\pi}{8}}-\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{8}-\sqrt 2[/dispmath]
Sada primenjujemo sledece pravilo:
[dispmath]\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}[/dispmath]
Pa se vracamo zadatku gde je:
[dispmath]\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{8}[/dispmath]
[dispmath]\alpha=\frac{\pi}{4}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sin 45^\circ}{1+\cos 45^\circ}-\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\frac{\sqrt 2}{2}}{1+\frac{\sqrt 2}{2}}-\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sqrt 2}{2+\sqrt 2}-\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sqrt 2-2\sqrt 2-2}{2+\sqrt 2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{-2-\sqrt 2}{2+\sqrt 2}[/dispmath]
Pa racionalizujemo:
[dispmath]\frac{-2-\sqrt 2}{2+\sqrt 2}\cdot\frac{2-\sqrt 2}{2-\sqrt 2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{-4+2\sqrt 2-2\sqrt 2+2}{4-2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{-2}{2}[/dispmath]
[dispmath]-1[/dispmath]
Korisnikov avatar
 
Postovi: 130
Zahvalio se: 115 puta
Pohvaljen: 103 puta

Re: Izračunati izraz

Postod Daniel » Petak, 14. Jun 2013, 01:18

forzajuve je napisao:[dispmath]\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}[/dispmath]

Ovde je samo potrebno naglasiti, pošto formula u opštem slučaju glasi [inlmath]\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}[/inlmath], da smo u ovom slučaju ispred korena uzeli znak [inlmath]+[/inlmath] zato što [inlmath]\frac{\pi}{8}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], tj. ugao je oštar, pa zato njegov tangens mora biti pozitivan.

forzajuve je napisao:[dispmath]\frac{-2-\sqrt 2}{2+\sqrt 2}[/dispmath]

Ovo bi moglo i bez racionalizacije:[dispmath]\frac{-2-\sqrt2}{2+\sqrt2}=\frac{-\left(\cancel{2+\sqrt2}\right)}{\cancel{2+\sqrt2}}=-1[/dispmath]

A evo i još jednog načina za rešavanje:[dispmath]\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{3\pi}{8}-\sqrt 2\cos\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{8}\right)-\sqrt 2\cos\frac{\pi}{8}\right]=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{8}-\sqrt 2\cos\frac{\pi}{8}\right)=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\frac{\sqrt 2}{2}\cos\frac{\pi}{8}-\frac{\sqrt 2}{2}\sin\frac{\pi}{8}-\sqrt 2\cos\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(-\frac{\sqrt 2}{2}\cos\frac{\pi}{8}-\frac{\sqrt 2}{2}\sin\frac{\pi}{8}\right)=[/dispmath][dispmath]=-\frac{\sqrt 2}{2}\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt 2}{2}\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{8}\right)+\sin\frac{\pi}{8}\right]=[/dispmath][dispmath]=-\frac{\sqrt 2}{2}\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\sin\frac{3\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt 2}{\cancel 2}\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\cdot \cancel 2\sin\frac{\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{8}}{2}\cos\frac{\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{8}}{2}=[/dispmath][dispmath]=-\frac{\sqrt 2}{\cancel{\cos\frac{\pi}{8}}}\sin\frac{\pi}{4}\cancel{\cos\frac{\pi}{8}}=-\sqrt 2\sin\frac{\pi}{4}=-\sqrt 2\cdot\frac{\sqrt 2}{2}=-1[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sledeća

Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 46 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 16:15 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs