Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijska jednačina

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod bobanex » Subota, 24. Jun 2017, 23:17

Uporno ti govorimo da ti fali jedno rešenje ali ti hoćeš da ih ima [inlmath]3[/inlmath].
Sva rešenja su sadržana u izrazu koji si navela.
[dispmath]\cos2x=0\\
2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath]
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod MartinaJuric » Subota, 24. Jun 2017, 23:29

Pošto uglavnom kod trigonometrijskih jednačina traže samo broj rešenja (koliko ih ima), a ne i koja su tačno, da li moram da rešenja sa [inlmath]k[/inlmath] prevodim u konkretno rešenje (bez [inlmath]k[/inlmath])?
 
Postovi: 112
Zahvalio se: 70 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod bobanex » Subota, 24. Jun 2017, 23:31

Ništa nije moranje, ako možeš da ih prebrojiš bez zapisivanja ti uradi tako.
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Nađa » Nedelja, 25. Jun 2017, 07:08

Da da u zurbi sam pogresila u pravu ste.
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod MartinaJuric » Nedelja, 25. Jun 2017, 09:16

Izvinjavam se što nastavljam da vas smaram, ali ja moram da napišem opet ceo zadatak, ali na Nađin način, pa mi vi napišite da li je to to. I moj način nije pogrešan, ali mi je ovo možda jednostavnije
[dispmath]\cos^4x-\sin^4x=\cos x[/dispmath][dispmath]\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x+\sin^2x\right)=\cos x[/dispmath][dispmath]\cos^2x-1+\cos^2x=\cos x[/dispmath][dispmath]2\cos^2x-\cos x-1=0[/dispmath][dispmath]\cos x=t[/dispmath][dispmath]2t^2-t-1=0[/dispmath][dispmath]t_1=1;\quad t_2=-\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\cos x=1[/dispmath][dispmath]x_1=2k\pi[/dispmath][dispmath]x_2=0[/dispmath][dispmath]\cos x=-\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath] Za [inlmath]k=0\;\longrightarrow\;x_3=-\frac{\pi}{3}[/inlmath]
Za [inlmath]k=1\;\longrightarrow\;x_3=\frac{5\pi}{3}[/inlmath]

Rešenja su [inlmath]0,2\pi,-\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}[/inlmath]?
 
Postovi: 112
Zahvalio se: 70 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Nađa » Nedelja, 25. Jun 2017, 09:27

Tako je, samo sto ja za [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] dobijam drugacija resenja [inlmath]x_3=\frac{2\pi}{3}[/inlmath] a [inlmath]x_4=\frac{4\pi}{3}[/inlmath]. Kosinus je negativan u drugom i trecem kvadrantu. I onda sam od [inlmath]\pi[/inlmath] oduzela [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] sto je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath] odnosno [inlmath]x_3=\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] gde je resenje u skladu sa intervalom samo [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath] a za treci kvadrant na [inlmath]\pi[/inlmath] sam dodala [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] znaci to je [inlmath]\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] odnosno [inlmath]x_4=\frac{4\pi}{3}[/inlmath] i jedino resenje ovde je [inlmath]\frac{4\pi}{3}[/inlmath]
Tako da jednacina ima ukupno [inlmath]4[/inlmath] resenja [inlmath]x_1=0,\;x_2=2\pi,\;x_3=\frac{2\pi}{3},\;x_4=\frac{4\pi}{3}[/inlmath]
Na [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath] kosinus je pozitivan, a treba da bude negativan.
Poslednji put menjao Nađa dana Nedelja, 25. Jun 2017, 09:35, izmenjena 2 puta
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod MartinaJuric » Nedelja, 25. Jun 2017, 09:31

Kako sam ja onda dobila ova rešenja [inlmath]-\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}[/inlmath] kad sam u prvom postu tačno napisala sva rešenja, samo mi je falila [inlmath]0[/inlmath]? :facepalm: :unsure: Kako god, zadatak je rešen, bolje da ne komentarišemo više :lol:
 
Postovi: 112
Zahvalio se: 70 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Nađa » Nedelja, 25. Jun 2017, 09:36

resenje [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath] automatski otpada jer je interval resenja od [inlmath][0,2\pi][/inlmath]. A za [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] mozes videti i na krugu da je kosinus njegov pozitivan to ti je [inlmath]300^\circ[/inlmath]. Zbog toga uvek kada je [inlmath]\cos x=-\frac{1}{2}[/inlmath] i kod nekih slicnih jednacina gde se javlja minus nikad ne pisem ispred minus da ne bi doslo do greske u resenjima. Vec gledam sa kruga gde bi ta funkcija bila negativna..
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

  • +1

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod roshoo » Nedelja, 25. Jun 2017, 18:04

Kada dobijem nešto jednostavno kao [inlmath]\cos2x=\cos x[/inlmath] lakše mi je samo da nacrtam grafik [inlmath]\cos2x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] i prebrojim broj preseka u datom intervalu. Možda je to samo meni lakše... izvinjavam se što malo kasnim :D
Poslednji put menjao Corba248 dana Nedelja, 25. Jun 2017, 18:32, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija LaTex-a (cos->\cos)
Korisnikov avatar
roshoo  OFFLINE
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 6 puta

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Daniel » Petak, 30. Jun 2017, 19:48

MartinaJuric je napisao:Kako sam ja onda dobila ova rešenja [inlmath]-\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}[/inlmath] kad sam u prvom postu tačno napisala sva rešenja, samo mi je falila [inlmath]0[/inlmath]? :facepalm: :unsure: Kako god, zadatak je rešen, bolje da ne komentarišemo više :lol:

Žao mi je, al' ipak moram malo da prokomentarišem (pa makar i s izvesnim zakašnjenjem), jer mi se čini da su neke stvari ostale nejasne.
Iz [inlmath]\cos x=-\frac{1}{2}[/inlmath] definitivno nije trebalo da dobiješ rešenja [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] (BTW te dve vrednosti imaju isti položaj na trigonometrijskoj kružnici, samo što se razlikuju za jedan pun okret, tj. za [inlmath]2k\pi[/inlmath]).
Nacrtaj trigonometrijsku kružnicu, na kosinusnoj osi (to je ona horizontalna osa) obeleži projekciju [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] (znači, levo od koordinatnog početka), pa pogledaj kojim uglovima će odgovarati ta projekcija na kosinusnoj osi. Ako dobro poznaješ uglove na trigonometrijskoj kružnici, odmah možeš očitati da će to biti uglovi [inlmath]\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath]. A pošto ti se traži samo interval [inlmath][0,2\pi][/inlmath], to će onda biti uglovi [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{4\pi}{3}[/inlmath] (tj. [inlmath]k=0[/inlmath]).

MartinaJuric je napisao:[dispmath]\cos x=1[/dispmath][dispmath]x_1=2k\pi[/dispmath][dispmath]x_2=0[/dispmath][dispmath]\cos x=-\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath]

Za [inlmath]x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] sam upravo napisao, to je netačno. Takođe, rešenje [inlmath]x_2=0[/inlmath] je suvišno, jer to rešenje sledi iz prvog skupa rešenja [inlmath]x_1=2k\pi[/inlmath] kada je [inlmath]k=0[/inlmath].
Štaviše, iz skupa rešenja [inlmath]x_1=2k\pi[/inlmath] dobijaju se dva rešenja koja se nalaze u intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]: to su rešenja [inlmath]0[/inlmath] (za [inlmath]k=0[/inlmath]) i [inlmath]2\pi[/inlmath] (za [inlmath]k=1[/inlmath]).

bobanex je napisao:@MartinaJuric izostavila si nulu kao rešenje mada se dva puta pojavljuje.

Samo da budemo precizniji, da se neko ne bi zbunio. Ne pojavljuje se nula dva puta, već se u intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] dvaput pojavljuje takva pozicija ugla na trigonometrijskoj kružnici za koju je kosinus jednak jedinici – jednom kao [inlmath]0[/inlmath], drugi put kao [inlmath]2\pi[/inlmath], pri čemu je njihov položaj na kružnici isti, samo se razlikuju za jedan pun okret kruga (slično kazaljkama na časovniku pre tačno 12 sati i sada).

MartinaJuric je napisao:Npr. meni nije problem da rešim jednačinu, ali na kraju se zapetljam oko tih rešenja.

Pa lepo sam ti ovde pokazao kako svodiš te skupove rešenja na zadati interval (uz naponemu da je svakako brže i efikasnije da to radiš pomoću trigonometrijske kružnice, al' može i ovako).
Znači, ako imaš skup rešenja [inlmath]x=2k\pi[/inlmath] (koji dobiješ iz [inlmath]\cos x=1[/inlmath]), tada lepo postaviš uslov da rešenje mora biti u intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]:
[dispmath]0\le2k\pi\le2\pi[/dispmath] Podeliš sve sa [inlmath]2\pi[/inlmath],
[dispmath]0\le k\le1[/dispmath] i, prema tome, [inlmath]k[/inlmath] može biti ili [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath]. Za [inlmath]k=0[/inlmath] rešenje će biti [inlmath]0[/inlmath] (kad uvrstiš [inlmath]k=0[/inlmath] u [inlmath]2k\pi[/inlmath]), a za [inlmath]k=1[/inlmath] rešenje će biti [inlmath]2\pi[/inlmath] (kad uvrstiš [inlmath]k=1[/inlmath] u [inlmath]2k\pi[/inlmath]).
Za skupove rešenja [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] dobije se samo [inlmath]k=0[/inlmath], tj. rešenja su [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}[/inlmath].

roshoo je napisao:Kada dobijem nešto jednostavno kao [inlmath]\cos2x=\cos x[/inlmath] lakše mi je samo da nacrtam grafik [inlmath]\cos2x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] i prebrojim broj preseka u datom intervalu.

Ovo je definitivno najefikasniji način, za one koji su vični crtanju grafika trigonometrijskih funkcija.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 41 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 15:20 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs