MartinaJuric je napisao:Kako sam ja onda dobila ova rešenja [inlmath]-\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}[/inlmath] kad sam u prvom postu tačno napisala sva rešenja, samo mi je falila [inlmath]0[/inlmath]?
Kako god, zadatak je rešen, bolje da ne komentarišemo više
Žao mi je, al' ipak moram malo da prokomentarišem (pa makar i s izvesnim zakašnjenjem), jer mi se čini da su neke stvari ostale nejasne.
Iz [inlmath]\cos x=-\frac{1}{2}[/inlmath] definitivno nije trebalo da dobiješ rešenja [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] (BTW te dve vrednosti imaju isti položaj na trigonometrijskoj kružnici, samo što se razlikuju za jedan pun okret, tj. za [inlmath]2k\pi[/inlmath]).
Nacrtaj trigonometrijsku kružnicu, na kosinusnoj osi (to je ona horizontalna osa) obeleži projekciju [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] (znači, levo od koordinatnog početka), pa pogledaj kojim uglovima će odgovarati ta projekcija na kosinusnoj osi. Ako dobro poznaješ uglove na trigonometrijskoj kružnici, odmah možeš očitati da će to biti uglovi [inlmath]\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath]. A pošto ti se traži samo interval [inlmath][0,2\pi][/inlmath], to će onda biti uglovi [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{4\pi}{3}[/inlmath] (tj. [inlmath]k=0[/inlmath]).
MartinaJuric je napisao:[dispmath]\cos x=1[/dispmath][dispmath]x_1=2k\pi[/dispmath][dispmath]x_2=0[/dispmath][dispmath]\cos x=-\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath]
Za [inlmath]x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] sam upravo napisao, to je netačno. Takođe, rešenje [inlmath]x_2=0[/inlmath] je suvišno, jer to rešenje sledi iz prvog skupa rešenja [inlmath]x_1=2k\pi[/inlmath] kada je [inlmath]k=0[/inlmath].
Štaviše, iz skupa rešenja [inlmath]x_1=2k\pi[/inlmath] dobijaju se
dva rešenja koja se nalaze u intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]: to su rešenja [inlmath]0[/inlmath] (za [inlmath]k=0[/inlmath]) i [inlmath]2\pi[/inlmath] (za [inlmath]k=1[/inlmath]).
bobanex je napisao:@MartinaJuric izostavila si nulu kao rešenje mada se dva puta pojavljuje.
Samo da budemo precizniji, da se neko ne bi zbunio. Ne pojavljuje se nula dva puta, već se u intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] dvaput pojavljuje takva pozicija ugla na trigonometrijskoj kružnici za koju je kosinus jednak jedinici – jednom kao [inlmath]0[/inlmath], drugi put kao [inlmath]2\pi[/inlmath], pri čemu je njihov položaj na kružnici isti, samo se razlikuju za jedan pun okret kruga (slično kazaljkama na časovniku pre tačno 12 sati i sada).
MartinaJuric je napisao:Npr. meni nije problem da rešim jednačinu, ali na kraju se zapetljam oko tih rešenja.
Pa lepo sam ti
ovde pokazao kako svodiš te skupove rešenja na zadati interval (uz naponemu da je svakako brže i efikasnije da to radiš pomoću trigonometrijske kružnice, al' može i ovako).
Znači, ako imaš skup rešenja [inlmath]x=2k\pi[/inlmath] (koji dobiješ iz [inlmath]\cos x=1[/inlmath]), tada lepo postaviš uslov da rešenje mora biti u intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]:
[dispmath]0\le2k\pi\le2\pi[/dispmath] Podeliš sve sa [inlmath]2\pi[/inlmath],
[dispmath]0\le k\le1[/dispmath] i, prema tome, [inlmath]k[/inlmath] može biti ili [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath]. Za [inlmath]k=0[/inlmath] rešenje će biti [inlmath]0[/inlmath] (kad uvrstiš [inlmath]k=0[/inlmath] u [inlmath]2k\pi[/inlmath]), a za [inlmath]k=1[/inlmath] rešenje će biti [inlmath]2\pi[/inlmath] (kad uvrstiš [inlmath]k=1[/inlmath] u [inlmath]2k\pi[/inlmath]).
Za skupove rešenja [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] dobije se samo [inlmath]k=0[/inlmath], tj. rešenja su [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}[/inlmath].
roshoo je napisao:Kada dobijem nešto jednostavno kao [inlmath]\cos2x=\cos x[/inlmath] lakše mi je samo da nacrtam grafik [inlmath]\cos2x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] i prebrojim broj preseka u datom intervalu.
Ovo je definitivno najefikasniji način, za one koji su vični crtanju grafika trigonometrijskih funkcija.