Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijska jednačina sa trećim korenom

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Trigonometrijska jednačina sa trećim korenom

Postod Petar » Ponedeljak, 01. Januar 2018, 14:26

Jednačina glasi:

[dispmath]\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}=\sqrt[3]4[/dispmath]

Pokušavao sam da obe strane jednačine dignem na treći stepen i zatim sredim izraz, ali ponavljanjem tog postupka nikad se ne dođe do rešenja, jer svaki put po dva treća korena nestanu, ali nova dva se pojave (jer formula za kub binoma glasi [dispmath](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/dispmath] pa ova dva člana u sredini zadržavaju treći koren), tako da me to nije dovelo do rešenja. Verovatno treba smisliti neki trik, ali na osnovu čega odrediti koji?
Poslednji put menjao Corba248 dana Ponedeljak, 01. Januar 2018, 16:32, izmenjena samo jedanput
Razlog: sin-> \sin i cos-> \cos
Petar  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Trigonometrijska jednačina sa trećim korenom

Postod bobanex » Ponedeljak, 01. Januar 2018, 15:44

[dispmath]{(a + b)^3} = {a^3} + 3ab\left( {a + b} \right) + {b^3}\\
a + b = \sqrt[3]{4}[/dispmath]
Doći ćeš do:
[dispmath]{\sin ^2}2x = 1[/dispmath]
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Re: Trigonometrijska jednačina sa trećim korenom

Postod Petar » Ponedeljak, 01. Januar 2018, 16:53

Hvala, jasno mi je, ali sada me nešto drugo zbunjuje. Način koji ste vi pokazali se sastoji u tome da napravimo sistem dve jednačine sa dve nepoznate, tako da jedna od njih bude dati uslov iz zadatka, a druga univerzalni identitet koji važi za svaka dva broja. Ako rešim zadatak na isti način, s tim da ne pravim sistem, već dižem dati uslov na treći stepen, onda to izgleda ovako:
[dispmath]\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}=\sqrt[3]4[/dispmath][dispmath]\sin^2x+3\sqrt[3]{\sin^4x\cos^2x}+3\sqrt[3]{\sin^2x\cos^4x}+\cos^2x=4[/dispmath] sređivanjem se dobija
[dispmath]\sqrt[3]{\sin^2x\cos^2x}\left(\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}\right)=1[/dispmath] i sada se
[dispmath]\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}[/dispmath] zameni sa [inlmath]\sqrt[3]4[/inlmath] i dalje se lako rešava. Dakle, uzeli smo uslov iz zadatka, primenili tipične ekvivalentne transformacije, i onda ga transformisali koristeći isti taj uslov od koga smo krenuli (govorim o zameni sa [inlmath]\sqrt[3]4[/inlmath]). Obično kad se tako nešto uradi, sređivanjem se dobija [inlmath]0=0[/inlmath] ili neki drugi trivijalni univerzalni identitet. Zanima me zašto se to ovde nije desilo.
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 01. Januar 2018, 17:22, izmenjena samo jedanput
Razlog: sin -> \sin i cos -> \cos
Petar  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Trigonometrijska jednačina sa trećim korenom

Postod Daniel » Ponedeljak, 01. Januar 2018, 17:33

Tako je, upravo smo takav slučaj imali u ovom zadatku.
U principu se može raditi na taj način, s tim da imaš na umu da pored ispravnih, nekad možeš dobiti i neka neispravna rešenja, što bi zahtevalo da svako od dobijenih rešenja uvrstiš u početnu jednačinu i proveriš da li za neka od rešenja ista neće biti zadovoljena. Ako je to slučaj, ta rešenja, naravno, odbaciš.

Možeš raditi i na drugi način, u kojem neće biti korišćen uslov od kojeg se krenulo. To je da obe strane digneš na treći, što si i učinio, nakon čega bi trebalo da dobiješ
[dispmath]\sqrt[3]{\sin^4x\cos^2x}+\sqrt[3]{\sin^2x\cos^4x}=1[/dispmath] Podeli obe strane sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] (lako se može pokazati da [inlmath]\cos^2x[/inlmath] ne može biti nula, uvrštavanjem u početnu jednačinu), a nakon toga uvedi smenu [inlmath]\text{tg}^2x=t^3[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 45 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 19:22 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs