Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Pravokutni sferni trokut – Napierova formula

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Pravokutni sferni trokut – Napierova formula

Postod dr.trovacek » Četvrtak, 22. Mart 2018, 19:07

Pozdrav. :)

Na svoju ruku radim dodatno gradivo za prirodoslovno matematičku gimnaziju, pa imam određene probleme.

Potrebno je dokazati jednu od Napierovih formula za pravokutni sferni trokut.
Slika koja mi je dana u udžbeniku:

Slika

Dokazivao sam neke od ostalih Napierovih formula bez većih problema, na primjer sljedeću relaciju:
[dispmath]\cos{c}=\cos{a}\cos{b}[/dispmath] Prvo sam izvukao sljedeće relacije:
[dispmath]\triangle OQP\;\to\;\cos{c}=\frac{|OQ|}{|OP|}\\
\triangle OQR\;\to\;\cos{a}=\frac{|OQ|}{|OR|}\;\to\;|OQ|=\cos{a}\ |OR|\\
\triangle ORP\;\to\;\cos{b}=\frac{|OR|}{|OP|}\;\to\;|OR|=\cos{b}\ |OP|[/dispmath] Uvrstio:
[dispmath]\cos{c}=\frac{\cos{a}\ |OR|}{|OP|}=\frac{\cos{a}\cos{b}\ |OP|}{|OP|}=\cos{a}\cos{b}[/dispmath] I to je dokazano.

Samo da napomenem da je ovo je prva lekcija o sfernoj trigonometriji, pa se još uvijek ne koriste poučci o sinusima i kosinusima za sferni trokut. Zato sam kod dokazivanja išao jednostavnim putem na način da sam izvukao svaki od kosinusa. Osim toga za jednu od relacija je stavljen i primjer u knjizi da se dokazuje upravo na ovakav način.

E sad, relacija koju ne mogu dokazati:
[dispmath]\sin{a}=\sin\alpha\sin{c}[/dispmath] Ovdje sam krenuo na isti način kao i u prošlom primjeru:
[dispmath]\triangle OQR\;\to\;\sin{a}=\frac{|QR|}{|OR|}\\
\triangle PQR\;\to\;\sin\alpha=\frac{|QR|}{|QP|}\;\to\;|QR|=\sin\alpha\ |QP|[/dispmath] Ovdje me malo zbunjuje što gornji kut (na slici) nije označen, odnosno nisam siguran dali je [inlmath]\angle QPR=\angle BAC=\alpha[/inlmath]?
[dispmath]\triangle OQP\;\to\;\sin{c}=\frac{|QP|}{|OP|}\;\to\;|QP|=\sin{c}\ |OP|[/dispmath] Slijedilo bi:
[dispmath]\sin{a}=\frac{\sin\alpha\cdot|QP|}{|OR|}\\
\sin{a}=\frac{\sin\alpha\cdot\sin{c}\cdot|OP|}{|OR|}[/dispmath] Tako da eto dalje ne znam :unsure: čak mi se ovo čini krivo :kojik: jer da bi relacija koju treba dokazati bila istinita valjda bi trebalo biti [inlmath]\frac{|OP|}{|OR|}=1\;\to\;|OP|=|OR|[/inlmath], a to je nemoguće jer je [inlmath]OP[/inlmath] hipotenuza, a [inlmath]OR[/inlmath] kateta pravokutnog trokuta [inlmath]ORP[/inlmath].

Dal mi može netko reći gdje griješim? :insane:

Hvala
 
Postovi: 20
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Pravokutni sferni trokut – Napierova formula

Postod Daniel » Petak, 23. Mart 2018, 01:13

dr.trovacek je napisao:Ovdje me malo zbunjuje što gornji kut (na slici) nije označen, odnosno nisam siguran dali je [inlmath]\angle QPR=\angle BAC=\alpha[/inlmath]?

Nemoj dali da pišeš sastavljeno, molim te. :)
Ne, [inlmath]\angle QPR[/inlmath] nije i ne može nikako biti jednak [inlmath]\alpha[/inlmath]. Jer, ako bi bio jednak [inlmath]\alpha[/inlmath], to bi značilo, posmatrajući trougao [inlmath]\triangle PQR[/inlmath], da je zbir [inlmath]\alpha+\beta+90^\circ[/inlmath] jednak [inlmath]180^\circ[/inlmath], pa bi i zbir uglova sfernog trougla [inlmath]ABC[/inlmath] takođe bio jednak [inlmath]180^\circ[/inlmath] (jer su mu tada uglovi isti kao uglovi trougla [inlmath]\triangle PQR[/inlmath]), a znamo da zbir uglova kod sfernog trougla ne može biti [inlmath]180^\circ[/inlmath], već mora biti strogo veći od [inlmath]180^\circ[/inlmath].

Možda te buni, ako je [inlmath]\angle QPR\ne\angle BAC[/inlmath], zbog čega je onda [inlmath]\angle PQR=\angle ABC=\beta[/inlmath]. Ako posmatramo kružni isečak [inlmath]AOB[/inlmath], uočavamo da je tangenta na luk [inlmath]AB[/inlmath] u tački [inlmath]B[/inlmath] paralelna sa [inlmath]PQ[/inlmath] (jer su obe normalne na [inlmath]OB[/inlmath] a pripadaju istoj ravni – ravni kružnog isečka). Na isti način zaključujemo, posmatrajući kružni isečak [inlmath]BOC[/inlmath], i da je tangenta na luk [inlmath]BC[/inlmath] u tački [inlmath]B[/inlmath] paralelna sa [inlmath]QR[/inlmath]. Prema tome, tangente na krake ugla [inlmath]\beta[/inlmath] u tački [inlmath]B[/inlmath] paralelne su kracima ugla [inlmath]\angle PQR[/inlmath], te su ovi uglovi jednaki.
Ovo razmišljanje ne možemo primeniti na ugao [inlmath]\angle QPR[/inlmath], jer njegovi kraci nisu normalni na [inlmath]OA[/inlmath]. Zbog toga je [inlmath]\angle QPR\ne\angle BAC[/inlmath].

Radi dokazivanja relacije [inlmath]\sin a=\sin\alpha\sin c[/inlmath] na osnovu priložene slike, kako ne bismo morali da na njoj crtamo nove trouglove već samo da koristimo postojeće, ja bih preporučio da se dokaže relacija [inlmath]\sin b=\sin\beta\sin c[/inlmath] (što se s postojeće slike dokazuje vrlo lako), a da se zatim iz toga zaključi da će, analogno, važiti i [inlmath]\sin a=\sin\alpha\sin c[/inlmath], jer su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] međusobno ravnopravne katete trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], a takođe i [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] njegovi međusobno ravnopravni uglovi nad tim katetama.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Pravokutni sferni trokut – Napierova formula

Postod dr.trovacek » Petak, 23. Mart 2018, 19:36

Nisam pazio :facepalm: uvijek brzopleto pišem i onda ima puno tipfelera pa na kraju ispravljam, a koncentrirao sam se prvenstveno na matematički dio...

Puno hvala, pomoglo mi je ovo pojašnjenje, naročito što se tiče ovog s kutom alfa. :thumbup:
 
Postovi: 20
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 3 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 37 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 11:05 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs