Pozdrav.
Na svoju ruku radim dodatno gradivo za prirodoslovno matematičku gimnaziju, pa imam određene probleme.
Potrebno je dokazati jednu od Napierovih formula za pravokutni sferni trokut.
Slika koja mi je dana u udžbeniku:
Dokazivao sam neke od ostalih Napierovih formula bez većih problema, na primjer sljedeću relaciju:
[dispmath]\cos{c}=\cos{a}\cos{b}[/dispmath] Prvo sam izvukao sljedeće relacije:
[dispmath]\triangle OQP\;\to\;\cos{c}=\frac{|OQ|}{|OP|}\\
\triangle OQR\;\to\;\cos{a}=\frac{|OQ|}{|OR|}\;\to\;|OQ|=\cos{a}\ |OR|\\
\triangle ORP\;\to\;\cos{b}=\frac{|OR|}{|OP|}\;\to\;|OR|=\cos{b}\ |OP|[/dispmath] Uvrstio:
[dispmath]\cos{c}=\frac{\cos{a}\ |OR|}{|OP|}=\frac{\cos{a}\cos{b}\ |OP|}{|OP|}=\cos{a}\cos{b}[/dispmath] I to je dokazano.
Samo da napomenem da je ovo je prva lekcija o sfernoj trigonometriji, pa se još uvijek ne koriste poučci o sinusima i kosinusima za sferni trokut. Zato sam kod dokazivanja išao jednostavnim putem na način da sam izvukao svaki od kosinusa. Osim toga za jednu od relacija je stavljen i primjer u knjizi da se dokazuje upravo na ovakav način.
E sad, relacija koju ne mogu dokazati:
[dispmath]\sin{a}=\sin\alpha\sin{c}[/dispmath] Ovdje sam krenuo na isti način kao i u prošlom primjeru:
[dispmath]\triangle OQR\;\to\;\sin{a}=\frac{|QR|}{|OR|}\\
\triangle PQR\;\to\;\sin\alpha=\frac{|QR|}{|QP|}\;\to\;|QR|=\sin\alpha\ |QP|[/dispmath] Ovdje me malo zbunjuje što gornji kut (na slici) nije označen, odnosno nisam siguran dali je [inlmath]\angle QPR=\angle BAC=\alpha[/inlmath]?
[dispmath]\triangle OQP\;\to\;\sin{c}=\frac{|QP|}{|OP|}\;\to\;|QP|=\sin{c}\ |OP|[/dispmath] Slijedilo bi:
[dispmath]\sin{a}=\frac{\sin\alpha\cdot|QP|}{|OR|}\\
\sin{a}=\frac{\sin\alpha\cdot\sin{c}\cdot|OP|}{|OR|}[/dispmath] Tako da eto dalje ne znam čak mi se ovo čini krivo jer da bi relacija koju treba dokazati bila istinita valjda bi trebalo biti [inlmath]\frac{|OP|}{|OR|}=1\;\to\;|OP|=|OR|[/inlmath], a to je nemoguće jer je [inlmath]OP[/inlmath] hipotenuza, a [inlmath]OR[/inlmath] kateta pravokutnog trokuta [inlmath]ORP[/inlmath].
Dal mi može netko reći gdje griješim?
Hvala