Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijska nejednačina

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Trigonometrijska nejednačina

Postod 1 9 9 9 » Subota, 21. April 2018, 12:29

Pozdrav!
Zadatak glasi:
Skup rešenja nejednačine [inlmath]\displaystyle\frac{1}{\cos(x)}<\frac{1}{\sin(x)}[/inlmath] na intervalu [inlmath](0,2\pi)[/inlmath].

Znam da treba da se postave uslovi za da je [inlmath]\cos(x)>0\;\land\;\sin(x)>0[/inlmath], ali ne znam šta dalje sa tim uslovima.

Rešenje: [inlmath]\displaystyle\left(0,\:\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\:\pi\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4},\:\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath]

Bilo kakva pomoć je dobrodošla, hvala unapred! :unsure:
Poslednji put menjao Corba248 dana Subota, 21. April 2018, 17:30, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija LaTex-a sinx -> \sin x
I am so clever that sometimes I don't understand a single word of what I am saying.
1 9 9 9  OFFLINE
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Trigonometrijska nejednačina

Postod Tinker » Subota, 21. April 2018, 12:51

Ne vidim nijedan razlog zašto bi ni [inlmath]\sin x[/inlmath], a ni [inlmath]\cos x[/inlmath] bili veći od [inlmath]0[/inlmath] sem ako to direktno zadatkom nije predodređeno, što nisi naglasio ovde.
Umesto toga, imaćeš uslove [inlmath]\sin x,\cos x\neq0[/inlmath], odakle imaš uslov da je
[dispmath]x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,\;x\neq0+k\pi[/dispmath] i ovo dalje možeš da rešiš kao najobičniju nejednačinu, [inlmath]\frac{1}{\sin x}[/inlmath] prebaciš sa druge strane i dobiješ [dispmath]\frac{\sin x-\cos x}{\sin x\cos x}<0[/dispmath] Nisam kod kuće da baš odradim ceo zadatak i da potvrdim da ćeš ovime da dođeš do rešenja, ali možeš da pokušaš pa javi ako se zaglaviš da rešimo do kraja. :D
Poslednji put menjao Corba248 dana Subota, 21. April 2018, 17:32, izmenjena 2 puta
Razlog: Korekcija LaTex-a sinx -> \sin x
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 35 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina

Postod 1 9 9 9 » Subota, 21. April 2018, 16:28

Zaista ne znam zašto sam umislio da treba da se za ovo u imeniocu postavi uslov da je veće od [inlmath]0[/inlmath].

Pokušavam sada da uradim, ali ne uspevam. Zaista bih ti bio zahvalan ako bi mogao da mi uradiš. Hvala!

Imam pitanje za jednu trigonometrijsku jednačinu, pa ako nije problem da je postavim ovde, da ne bih otvarao novu temu.

Broj realnih rešenja jednačine: [inlmath]\sin x=1-x^2[/inlmath]
Rešenje: [inlmath]2[/inlmath]

Ne znam kako ni da počnem, nemam ideju zaista. :sad3:
Poslednji put menjao Corba248 dana Subota, 21. April 2018, 17:28, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija LaTex-a sinx -> \sin x
I am so clever that sometimes I don't understand a single word of what I am saying.
1 9 9 9  OFFLINE
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +2

Re: Trigonometrijska nejednačina

Postod Tinker » Subota, 21. April 2018, 16:47

Moraš da mi oprostiš i da sačekaš malo što se tiče ove nejednačine, to sam ti samo na brzinu malopre dao smernice, a zadatak ću da pokušam kasnije da rešim kada budem imao vremena, ako me neko ne preduhitri naravno. :D

1 9 9 9 je napisao:Broj realnih rešenja jednačine: [inlmath]\sin x=1-x^2[/inlmath]
Rešenje: [inlmath]2[/inlmath]

Što se ovoga tiče, ja bih ovo radio grafički; odvojio bih na dve funkcije [inlmath]y=\sin x[/inlmath] i [inlmath]y=1-x^2[/inlmath]. Kada nacrtaš oba grafika poprilično je jasno da se seku u samo [inlmath]2[/inlmath] tačke, što je i tvoje traženo rešenje. :)
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 35 puta

  • +1

Re: Trigonometrijska nejednačina

Postod Corba248 » Subota, 21. April 2018, 17:26

@1 9 9 9 Ovu jednačinu si slobodno mogao postaviti u novu temu, a tako je i predviđeno Pravilnikom.

Nejednačinu si mogao zapisati kao [inlmath]\cos x>\sin x[/inlmath], što je lako rešiti grafički.

P. S. Za funkcije kao što su sinus i kosinus u LaTex-u treba pisati \sin x, a ne sin x (mala ispravka).
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina

Postod Tinker » Subota, 21. April 2018, 19:12

@Corba248 Da, evo sad sam konačno uhvatio vreme da odradim, i ja sam isto došao do [inlmath]\tan x<1[/inlmath], ali zar onda u tom slučaju ovo rešenje koje je on dao nije netačno? Možda i ja grešim, ali ja dobijam drugačije rešenje za ovu nejednačinu. :D
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 35 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina

Postod Corba248 » Subota, 21. April 2018, 19:50

U pravu si moj odgovor je bio štur. Trebalo bi voditi računa o znaku sinusa i kosinusa, a pre svega postaviti uslove definisanosti razlomaka u početnoj nejednakosti. Jasno je da su svi uglovi drugog kvadranta rešenja i da svi iz četvrtog nisu (izuzev onih koji ih ograničavaju). Nejednačina se zaista svodi na [inlmath]\cos x>\sin x[/inlmath] ako govorimo o prvom i trećem kvadrantu jer smo mi zapravo nejednakost pomnožili sa [inlmath]\sin x\cos x[/inlmath]. Mi smo logički utvrdili da su uglovi drugog kvadranta rešenja, a da oni iz četvrtog nisu (posmatrajući znak kosinusa, odnosno sinusa u polaznoj nejednačini), a formalno bismo isto to i dobili, ali bismo zbog toga što je proizvod [inlmath]\sin x\cos x[/inlmath] negativan morali da obrnemo znak nejednakosti i dobili bismo [inlmath]\cos x<\sin x[/inlmath] za drugi i četvrti kvadrant, što je očigledno zadovoljeno samo u drugom.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina

Postod Tinker » Subota, 21. April 2018, 20:04

1 9 9 9 je napisao:Rešenje: [inlmath]\displaystyle\left(0,\:\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\:\pi\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4},\:\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath]

Želeo bih samo, ako ti nije problem da razjasnimo ovaj deo konkretno [inlmath]\left(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath]. Zar u trećem kvadratnu rešenje neće biti [inlmath]\left(\pi,\frac{5\pi}{4}\right)[/inlmath]? Mislim možda i ja grešim, a verovatno je, zato me i zanima. :)
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 35 puta

  • +2

Re: Trigonometrijska nejednačina

Postod Corba248 » Subota, 21. April 2018, 20:07

Dakle, u trećem kvadrantu naša nejednakost se svodi na [inlmath]\cos x>\sin x[/inlmath]. Rešenje ove nejednačine u trećem kvadrantu je [inlmath]\left(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath].
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina

Postod 1 9 9 9 » Subota, 21. April 2018, 20:12

Tinker je napisao:Želeo bih samo, ako ti nije problem da razjasnimo ovaj deo konkretno [inlmath]\left(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath]. Zar u trećem kvadratnu rešenje neće biti [inlmath]\left(\pi,\frac{5\pi}{4}\right)[/inlmath]? Mislim možda i ja grešim, a verovatno je, zato me i zanima. :)

Tako piše u rešenju i ponuđenim odgovorima. Inače ovaj zadatak je sa Građevinskog F iz 2012. godine.
I am so clever that sometimes I don't understand a single word of what I am saying.
1 9 9 9  OFFLINE
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sledeća

Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 44 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 22:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs