Prijemni ispit FON – 30. jun 2015.
16. zadatak
Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt2\left(2\cos^2x-1\right)[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath]\left(0,2\pi\right)[/inlmath] je:
Rešenje: [inlmath]\frac{7\pi}{2}[/inlmath]
Kako god da radim zadatak ne mogu nikako da dobijem ovo resenje, nego dobijam [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath]
Levu stranu jednacine mozemo da sredimo preko adicionih formula ili pak preko transformacija, kako god, ovde radim adicione formule i dobijam:
[dispmath]\frac{\sqrt2}{2}\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\sin x=\sqrt2\left(\cos^2x-1\right)\\
-\sqrt2\sin x=-\sqrt2\left(1-\cos^2x\right)\\
-\sqrt2\sin x=-\sqrt2\sin^2x\\
\cancel{-\sqrt2}\sin x=\cancel{-\sqrt2}\sin^2x\\
\sin x(\sin x-1)=0[/dispmath] Ovako dobijem da su resenja [inlmath]x=k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] s obzirom da se radi o otvorenom intervalu resenja koja dolaze u obzir su [inlmath]x=\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath], medjutim zbir ova dva je [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath], a to nije resenje... ne znam gde gresim, mozda je trebalo da se radi o intervalu gde se ukljucuje i [inlmath]2\pi[/inlmath], onda bi bilo okej.