Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrija za prijemni ETF

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Trigonometrija za prijemni ETF

Postod maxaa » Ponedeljak, 17. Jun 2013, 23:24

Ove zadatke sam grupisao jer nisam siguran da pripadaju planimetriji i zbog toga sto mi deluje da se rade po istom principu.

8. Neka su u proizvoljnom trouglu [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath] uglovi, [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] dužine stranica naspram datih uglova i [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik opisanog kruga, tada je [inlmath]\frac{a^2+b^2+c^2}{3-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma}[/inlmath] jednako:
[inlmath](A)\;R^2\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;2R^2\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;3R^2\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(D)}\;4R^2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;5R^2\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

9. Neka su [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath] uglovi a [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] stranice proizvoljnog trougla. Tada je [inlmath]\frac{b-2a\cos\gamma}{a\sin\gamma}+\frac{c-2b\cos\alpha}{b\sin\alpha}+\frac{a-2c\cos\beta}{c\sin\beta}[/inlmath] jednako:
[inlmath](A)\;-2\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;-1\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;0\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;1\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\mbox{Nijedan od ponuđenih odgovora}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

10. U proizvoljnom trouglu čije su stranice [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] i odgovarajući uglovi [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] količnik [inlmath]\frac{\sin\left(\alpha-\beta\right)}{\sin\left(\alpha+\beta\right)}[/inlmath] jednak je:
[inlmath](A)\;\frac{\left(a-b\right)^2}{c^2}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\frac{c^2}{a^2-b^2}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)\;\frac{a^2-b^2}{c^2}}\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;\frac{c^2}{\left(a-b\right)^2}\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Trigonometrija za prijemni ETF

Postod Daniel » Utorak, 18. Jun 2013, 07:31

Ipak više pripadaju trigonometriji i eto ih zato ovde. :)

maxaa je napisao:10. U proizvoljnom trouglu čije su stranice [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] i odgovarajući uglovi [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] količnik [inlmath]\frac{\sin\left(\alpha-\beta\right)}{\sin\left(\alpha+\beta\right)}[/inlmath] jednak je:
[inlmath](A)\;\frac{\left(a-b\right)^2}{c^2}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\frac{c^2}{a^2-b^2}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)\;\frac{a^2-b^2}{c^2}}\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;\frac{c^2}{\left(a-b\right)^2}\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

[dispmath]\frac{\sin\left(\alpha-\beta\right)}{\sin\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}\quad\left(1\right)[/dispmath]Pa sad primeniš sinusnu i kosinusnu teoremu.
Sinusna teorema:[dispmath]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R\quad\Rightarrow\quad\sin\alpha=\frac{a}{2R},\quad\sin\beta=\frac{b}{2R},\quad\sin\gamma=\frac{c}{2R}[/dispmath]Kosinusna teorema:[dispmath]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\quad\Rightarrow\quad\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/dispmath][dispmath]b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\quad\Rightarrow\quad\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}[/dispmath][dispmath]c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\quad\Rightarrow\quad\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}[/dispmath]Dakle, u izrazu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] sad zameniš [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] sa [inlmath]\frac{a}{2R}[/inlmath], [inlmath]\cos\beta[/inlmath] sa [inlmath]\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}[/inlmath], [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] sa [inlmath]\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/inlmath] i [inlmath]\sin\beta[/inlmath] sa [inlmath]\frac{b}{2R}[/inlmath], središ i tačno dolaziš do rešenja.

maxaa je napisao:9. Neka su [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath] uglovi a [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] stranice proizvoljnog trougla. Tada je [inlmath]\frac{b-2a\cos\gamma}{a\sin\gamma}+\frac{c-2b\cos\alpha}{b\sin\alpha}+\frac{a-2c\cos\beta}{c\sin\beta}[/inlmath] jednako:
[inlmath](A)\;-2\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;-1\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;0\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;1\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\mbox{Nijedan od ponuđenih odgovora}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Radi se po istom principu – primeniš ove prethodno nabrojane identitete koji slede iz sinusne i kosinusne teoreme.

maxaa je napisao:8. Neka su u proizvoljnom trouglu [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath] uglovi, [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] dužine stranica naspram datih uglova i [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik opisanog kruga, tada je [inlmath]\frac{a^2+b^2+c^2}{3-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma}[/inlmath] jednako:
[inlmath](A)\;R^2\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;2R^2\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;3R^2\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(D)}\;4R^2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;5R^2\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

U ovom zadatku se koristi samo sinusna teorema, tačnije identiteti[dispmath]a=2R\sin\alpha,\quad b=2R\sin\beta,\quad c=2R\sin\gamma[/dispmath][dispmath]\frac{a^2+b^2+c^2}{3-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma}=\frac{4R^2\sin^2\alpha+4R^2\sin^2\beta+4R^2\sin^2\gamma}{\underbrace{1-\cos^2\alpha}_{\sin^2\alpha}+\underbrace{1-\cos^2\beta}_{\sin^2\beta}+\underbrace{1-\cos^2\gamma}_{\sin^2\gamma}}=\cdots[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Trigonometrija za prijemni ETF

Postod maxaa » Utorak, 18. Jun 2013, 08:41

Pretpostavio sam da nisu bas direktno vezani za planimetriju, pa sam ih zato i grupisao :-)
Sto se tice resenja, deluje mi prilicno jasno, kad stignem kuci, raspisacu zadatke, pa cu se javiti ukoliko bude nedoumica.
I hvala na brzim odgovorima, stvarno ste najbolji! :thumbup:
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Trigonometrija za prijemni ETF

Postod sim » Petak, 28. Jun 2013, 17:33

4. U trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] je ugao kod temena [inlmath]A[/inlmath] dva puta veći od ugla kod temena [inlmath]B[/inlmath]. Ako su naspram temena [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] redom stranice [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath], onda je:

jel moze pomoc oko ovoga ?
sim  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Trigonometrija za prijemni ETF

Postod Daniel » Petak, 28. Jun 2013, 18:44

Napišeš prvo ono što iz teksta zadatka znaš:
[inlmath]\alpha=2\beta[/inlmath]
[inlmath]\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-3\beta[/inlmath]

Deo teksta zadatka je odsečen sa slike, pa ne vidim šta se u zadatku traži. Ali, šta god da se traži, pretpostavljam da bi išlo preko sinusne teoreme:[dispmath]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}[/dispmath][dispmath]\frac{a}{\sin 2\beta}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\left(180^\circ-3\beta\right)}[/dispmath][dispmath]\frac{a}{\sin 2\beta}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin 3\beta}[/dispmath]Pa se onda za [inlmath]\sin 2\beta[/inlmath] primeni formula za sinus dvostrukog ugla, a [inlmath]\sin 3\beta[/inlmath] se odredi preko adicione formule za sinus, [inlmath]\sin\left(2\beta+\beta\right)[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Trigonometrija za prijemni ETF

Postod miljan1403 » Petak, 29. Maj 2020, 19:44

Ja dobijam:
[dispmath]\frac{a}{2\cos\beta\sin\beta}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{-4\sin^3\beta+3\sin\beta}[/dispmath] Nikako da izračunam iz ovoga :facepalm: Da li grešim negde?
Rešenje je: [inlmath]a^2=b\left(b+c\right)[/inlmath]
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta

  • +1

Re: Trigonometrija za prijemni ETF

Postod Daniel » Subota, 30. Maj 2020, 15:09

Ne grešiš nigde, jer [inlmath]\sin2\beta[/inlmath] jeste jednako [inlmath]2\sin\beta\cos\beta[/inlmath], i [inlmath]\sin3\beta[/inlmath] jeste jednako [inlmath]3\sin\beta-4\sin^3\beta[/inlmath].

Sada skratiš [inlmath]\sin\beta[/inlmath] u sva tri imenioca (što je dozvoljeno, budući da [inlmath]\beta[/inlmath] kao ugao trougla, a samim tim i [inlmath]\sin\beta[/inlmath], ne može biti nula). Zatim imenilac trećeg razlomka izraziš preko imenioca prvog razlomka, malo središ i dobićeš odnos stranica koji je naveden u rešenju.

Hvala na rešenju, :thumbup: na prvobitno okačenoj slici s koje sam zadatak prekucao bio je odsečen taj deo tako da nije ni bilo jasno šta se tačno u zadatku traži.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Trigonometrija za prijemni ETF

Postod miljan1403 » Ponedeljak, 01. Jun 2020, 17:58

Na kraju dobijam:
[dispmath]\frac{a}{2\cos\beta}=\frac{b}{1}=\frac{c}{4\cos^2\beta-1}[/dispmath] Ali ja moram priznati da ne znam kako da rešim proporciju :indiffer: , znam kritično je, pa ako može malo pomoći oko toga :D
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta

  • +1

Re: Trigonometrija za prijemni ETF

Postod Daniel » Ponedeljak, 01. Jun 2020, 18:31

Kvadriraj obe strane u [inlmath]\frac{a}{2\cos\beta}=b[/inlmath], odatle izrazi [inlmath]4\cos^2\beta[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], a zatim to uvrsti u [inlmath]b=\frac{c}{4\cos^2\beta-1}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Trigonometrija za prijemni ETF

Postod miljan1403 » Ponedeljak, 01. Jun 2020, 18:50

Hvala ti puno, uspeo sam. Da li se uvek proporcija tako radi? Tako što je rastavimo na dva "dela"? :D
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta

Sledeća

Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 40 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 23:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs