Prijemni ispit ETF – 25. jun 2012.
14. zadatak
Stranice trougla su [inlmath]21[/inlmath] i [inlmath]9\sqrt2[/inlmath] a njima zahvaćeni ugao [inlmath]45^\circ[/inlmath]. Zbir poluprečnika upisanog i opisanog kruga tog trougla je? Rešenje: [inlmath]6\left(\sqrt2+1\right)[/inlmath]
Dakle, imamo: [inlmath]a=21,\;b=9\sqrt2,\;\phi=45^\circ[/inlmath]
Koristimo kosinusnu teoremu:
[dispmath]c^2=a^2+b^2-2ab\cos\phi\;\Longrightarrow\;c^2=225\;\Longrightarrow\;c=15[/dispmath] Zatim sinusnu teoremu:
[dispmath]\frac{c}{\sin\phi}=2R\;\Longrightarrow\;R=\frac{15\sqrt2}{2}[/dispmath] Za izračunavanje površine trougla preko poluprečnika opisane i upisane kružnice trougla koristimo sljedeće 2 formule:
[dispmath]P=\frac{abc}{4R},\;P=rs[/dispmath] Odredimo površinu iz [inlmath]P=\frac{abc}{4R}[/inlmath]:
[dispmath]P=\frac{21\cdot9\sqrt2\cdot15}{30\sqrt2}\;\Longrightarrow\;P=\frac{189}{2}[/dispmath] Poluobim trougla:
[dispmath]s=\frac{a+b+c}{2}\Longrightarrow\;s=\frac{36+9\sqrt2}{2}[/dispmath] Sada možemo da izračunamo poluprečnik upisane kružnice [inlmath]r[/inlmath]:
[dispmath]r=\frac{P}{s}=\frac{21\cdot\left(4-\sqrt2\right)}{14}[/dispmath] Sada saberemo [inlmath]R+r[/inlmath]:
[dispmath]R+r=\frac{15\sqrt2}{2}+\frac{21\left(4-\sqrt2\right)}{14}\;\Longrightarrow\;R+r=6\left(\sqrt2+1\right)[/dispmath]