10. zadatak
U jednakokraki trougao čiji je jedan unutrašnji ugao [inlmath]120^\circ[/inlmath], upisan je krug poluprečnika [inlmath]3\text{ cm}[/inlmath]. Obim tog trougla (u [inlmath]\text{cm}[/inlmath]) jednak je: [inlmath]2\left(12+7\sqrt3\right)\text{cm}[/inlmath]
Poznato nam je [inlmath]r[/inlmath] i ugao od [inlmath]15^\circ[/inlmath], što znači da možemo izračunati [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath].
Prvo nađemo [inlmath]\sin[/inlmath] i [inlmath]\cos[/inlmath] ugla od [inlmath]15^\circ[/inlmath]:
[dispmath]\sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt2\left(\sqrt3-1\right)}{4}\\
\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt2\left(\sqrt3+1\right)}{4}[/dispmath] Sada se vraćamo na osnovu trigonometrije:
[dispmath]\sin15^\circ=\frac{r}{\overline{OB}}\;\Longrightarrow\;\overline{OB}=\frac{r}{\sin15^\circ}\;\Longrightarrow\;\overline{OB}=3\sqrt2\left(\sqrt3+1\right)\\
\cos15^\circ=\frac{\frac{a}{2}}{\overline{OB}}\;\Longrightarrow\;\frac{a}{2}=\cos15^\circ\cdot\overline{OB}\;\Longrightarrow\;\frac{a}{2}=3\left(2+\sqrt3\right)\;\Longrightarrow\;a=6\left(2+\sqrt3\right)[/dispmath] Iskoristit ćemo sinusnu teoremu:
[dispmath]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}\;\Longrightarrow\;b=\frac{a\cdot\sin\beta}{\sin\alpha}\;\Longrightarrow\;b=6+4\sqrt3[/dispmath] Obim jednakokrakog trougla: [inlmath]O=a+2b[/inlmath]
[dispmath]O=a+2b=12+6\sqrt3+12+8\sqrt3\;\Longrightarrow\;O=2\left(12+7\sqrt3\right)\text{cm}[/dispmath]