Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Broj rešenja trigonometrijske jednačine – probni prijemni MATF 2018.

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Broj rešenja trigonometrijske jednačine – probni prijemni MATF 2018.

Postod Tinker » Nedelja, 17. Jun 2018, 21:13

Probni prijemni ispit MATF - 16. jun 2018.
10. zadatak


Ako je [inlmath]A[/inlmath] broj rešenja jednačine [inlmath]\cos(\sin\pi x)=0[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath][0,2][/inlmath] a [inlmath]B[/inlmath] broj rešenja jednačine [inlmath]\sin(\cos\pi x)=0[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] onda je [inlmath]A+B[/inlmath]?

Tačan odgovor je [inlmath]A+B=2[/inlmath]

Ja sam započeo [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] i ovu drugu kao [inlmath]\cos\pi x=k\pi[/inlmath] i ja stvarno nemam predstavu šta odavde dalje da radim. :unsure:
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 35 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – probni prijemni MATF 2018.

Postod Daniel » Nedelja, 17. Jun 2018, 21:34

Ako je [inlmath]\cos\pi x=k\pi[/inlmath], a [inlmath]k[/inlmath] je celobrojno, koliko onda mora biti [inlmath]k[/inlmath]? :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – probni prijemni MATF 2018.

Postod Tinker » Nedelja, 17. Jun 2018, 21:40

Da li to znači da uzimam [inlmath]k[/inlmath] iz ponuđenih intervala za rešenja jednačina, ili prilagođavam [inlmath]k[/inlmath] tako da mi rešenja upadaju u taj interval?
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 35 puta

  • +1

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – probni prijemni MATF 2018.

Postod Daniel » Nedelja, 17. Jun 2018, 21:43

Vrednost kosinusa se mora nalaziti u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath].
Slično razmišljanje primeniš i u prvoj jednačini za sinus.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – probni prijemni MATF 2018.

Postod Tinker » Nedelja, 17. Jun 2018, 21:53

[dispmath]\sin(\cos\pi x)=0\\
\cos\pi x=k\pi[/dispmath] [inlmath]k=0,\;\cos\pi x=0[/inlmath]
[dispmath]\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x=\frac{1}{2}+k[/dispmath] rešenja u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] su [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath]
Je l ovo tačno?
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 35 puta

  • +1

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – probni prijemni MATF 2018.

Postod Daniel » Nedelja, 17. Jun 2018, 21:59

Apsolutno. :thumbup:
Uostalom, uvrstiš rešenja u početnu jednačinu [inlmath]\sin(\cos\pi x)=0[/inlmath] i:
[dispmath]\sin\left(\cos\frac{\pi}{2}\right)=\sin0=0\\
\sin\biggl(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\biggr)=\sin0=0[/dispmath] Sad uradi to isto za prvu jednačinu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – probni prijemni MATF 2018.

Postod miljan1403 » Utorak, 21. April 2020, 21:33

U prvoj jednačini [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] uzmemo da je [inlmath]k=0[/inlmath] i dobijemo [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}[/inlmath].
Da li to znači da ta jednačina nema rešenja? :D
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta

  • +1

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – probni prijemni MATF 2018.

Postod Frank » Utorak, 21. April 2020, 21:43

Tako je. I da uzmeš bilo koju drugu (celobrojnu) vrednost za [inlmath]k[/inlmath], desna strana nece biti u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath].
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – probni prijemni MATF 2018.

Postod miljan1403 » Sreda, 22. April 2020, 16:54

Okej sve ovo mi je postalo malo konfuzno pa ću pokušati da sve stavim na jedno mesto pa da pitam šta ne razumem.
Znači imamo te dve jednačine: [inlmath]\cos\left(\sin\pi x\right)=0[/inlmath] u intervalu od [inlmath]\left[0,2\right][/inlmath].
I jednačina [inlmath]\sin\left(\cos\pi x\right)=0[/inlmath] u intervalu od [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath].

Uzmemo drugu jednačinu:
[dispmath]\sin\left(\cos\pi x\right)=0[/dispmath][dispmath]\cos\pi x=k\pi[/dispmath][dispmath]\cos\pi x=0[/dispmath] za [inlmath]k=0[/inlmath]
[dispmath]\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\big/:\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{1}{2}+k[/dispmath] i odatle dobijamo rešenja [inlmath]x=\frac{1}{2}\;\lor\;x=-\frac{1}{2}[/inlmath] zato što nam je interval između [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath]

A sad prva jednačina:
[dispmath]\cos\left(\sin\pi x\right)=0[/dispmath][dispmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath][dispmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}[/dispmath] za [inlmath]k=0[/inlmath], da li sada to podelim sa [inlmath]\pi[/inlmath] i dobijem [inlmath]\sin x=\frac{1}{2}[/inlmath] ili? :kojik:

Rešenje zadatka je [inlmath]2[/inlmath], pošto imamo [inlmath]2[/inlmath] rešenja u drugoj jednačini, onda to znači da prva jednačina nema ni jedno rešenje? Zar ne? Ali zašto?
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – probni prijemni MATF 2018.

Postod Frank » Sreda, 22. April 2020, 19:01

miljan1403 je napisao:Rešenje zadatka je [inlmath]2[/inlmath], pošto imamo [inlmath]2[/inlmath] rešenja u drugoj jednačini, onda to znači da prva jednačina nema ni jedno rešenje? Zar ne? Ali zašto?

Tako je, prva jednačina nema rešenja. Zašto? Zato što sinus ma kojeg ugla mora biti u intervalu [inlmath][-1, 1][/inlmath]. Da li postoji neki ugao čiji je sinus, na primer, [inlmath]1.56[/inlmath] ili [inlmath]-5[/inlmath]? Naravno da ne postoji. Uzmi kalkulator i izračunaj koliko je [inlmath]\arcsin5[/inlmath] (pisace Math error), a uzmi i vidi koliko je [inlmath]\arcsin0.5[/inlmath] (pisace [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] ili [inlmath]30^\circ[/inlmath]).

E sad da se vratimo na jednačinu [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}[/inlmath].
Desna strana je približno [inlmath]1.57[/inlmath] ([inlmath]3.14/2[/inlmath]), sto očigledno ne pripada intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] Dakle, [inlmath]\sin\pi x[/inlmath] nikako ne moze biti jednako [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], pa data jednačina nema rešenja.
Nadam se da ti je sada jasno. Ako opet imas neki nedoumica, pitaj, pa cemo videti sta te koči.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sledeća

Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 29 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 12:47 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs