Zadatak glasi: Rešiti trigonometrijsku jednačinu:
[dispmath]\sin(x)\cdot\cos(x)=1-\frac{1}{2}\cdot\tan(x)[/dispmath] Kada pomnožimo sve sa [inlmath]2[/inlmath], data jednačina je ekvivalentna jednačini:
[dispmath]\sin2x+\tan x=2[/dispmath] Primenom trigonometrijskog identiteta:
[dispmath]\sin2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2x}[/dispmath] Jednačina se sada može napisati:
[dispmath]\frac{2\tan x}{1+\tan^2x}+\tan x=2[/dispmath] Uvedemo smenu:
[dispmath]\tan x=t[/dispmath] Jednačina poprima oblik:
[dispmath]\frac{2}{1+t^2}+t=2[/dispmath][dispmath]2t+t+t^3=2+2t^2[/dispmath][dispmath]t^3-2t^2+3t-2=0[/dispmath][dispmath](t-1)\left(t^2-t+2\right)=0[/dispmath] Jednačina je ekvivalentna jednačini [inlmath]t-1=0[/inlmath], jer jednačina [inlmath]t^2-t+2=0[/inlmath] nema rešenja u skupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], budući da je diskriminanta manja od nule.
Iz [inlmath]\tan x=t=1[/inlmath], sledi:
[dispmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath] Da li neko zna drugačiji način rešavanja ovo zadatka da bi podelio jer upravo formula:
[dispmath]\sin2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2x}[/dispmath] ne spada ajmo reći u osnove trigonometrijske identitete koje bi lako zapamtili.