Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijska jednačina

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Moderator: Corba248

Trigonometrijska jednačina

Postod Jola » Četvrtak, 31. Januar 2019, 00:12

Zadatak glasi: rešiti jednačinu u skupu realnih brojeva
[dispmath]\cos^24x=\frac{1}{4}[/dispmath] Rešila sam na dva načina, pa me zanima da li su oba načina u redu?
Prvi način:
[dispmath]\cos^24x-\frac{1}{4}=0\\
\left(\cos4x-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\cos4x+\frac{1}{2}\right)=0\\
\cos4x=\frac{1}{2}\qquad\lor\qquad\cos4x=-\frac{1}{2}\\
\cos4x=\pm\frac{1}{2}[/dispmath] Sa zamišljene trigonometrijske kružnice (za sada je zamišljena dok ne naučim kako ovde da ubacim crtež) sledi rešenje
[dispmath]4x=\frac{\pi}{3}+k\pi\qquad\lor\qquad4x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Odnosno
[dispmath]x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{4}\qquad\lor\qquad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{4}\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Drugi način:
[dispmath]\cos^24x=\frac{1}{4}\\
\cos^24x-\frac{1}{4}=0\\
\left(\cos4x-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\cos4x+\frac{1}{2}\right)=0\\
\cos4x=\frac{1}{2}\qquad\lor\qquad\cos4x=-\frac{1}{2}[/dispmath] Sa zamišljene trigonometrijske kružnice sledi rešenje
[dispmath]4x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\lor\quad4x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi\quad\lor\quad4x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\lor\quad4x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Odnosno
[dispmath]x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\quad\lor\quad x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2}\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Odnosno, zapisano drugačije
[dispmath]x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\qquad\lor\qquad x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Hvala!
Jola  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Daniel » Petak, 01. Februar 2019, 23:27

Oba načina su u redu. Možeš se uveriti da su rešenja koja si dobila na jedan i na drugi način međusobno identična (iako zapisana u drugačijem obliku) ako u jednu trigonometrijsku kružnicu ucrtaš skup rešenja dobijenih na prvi način, a u drugu trigonometrijsku kružnicu – skup rešenja dobijenih na drugi način. Njihovi položaji na trigonometrijskim kružnicama biće isti.

Nego, mislim da previše truda (a samim tim i vremena) trošiš na to da iz [inlmath]\cos^24x=\frac{1}{4}[/inlmath] dobiješ [inlmath]\cos4x=\pm\frac{1}{2}[/inlmath]. To je prilično očigledno i može se odraditi u jednom koraku, a ako se baš traži da se uradi postupno, po koracima, onda bi, po meni, bilo brže korenovati obe strane, iskoristiti [inlmath]\sqrt{x^2}\,\overset{\text{def}}{=\!=}\,|x|[/inlmath] i onda se na levoj strani osloboditi apsolutne zagrade tako što se desnoj strani doda predznak [inlmath]\pm[/inlmath].

Možeš pokušati i na treći način – tako što ćeš iskoristiti formulu za kosinus polovine ugla, tj. [inlmath]\cos^24x[/inlmath] napisati kao [inlmath]\frac{1+\cos8x}{2}[/inlmath]...

Jola je napisao:Sa zamišljene trigonometrijske kružnice (za sada je zamišljena dok ne naučim kako ovde da ubacim crtež)

viewtopic.php?f=3&t=1662#p9930
viewtopic.php?f=3&t=1140#p6828
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7682
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

  • +1

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Jola » Subota, 02. Februar 2019, 15:50

Daniel,

Hvala Vam mnogo na detaljnom odgovoru. I hvala što ste izdvojili Vaše vreme pre svega. I hvala što nesebično delite znanje. Odgovor je razrešio sve moje nedoumice. Evo sada ću pokušati da stavim i crtež na osnovu objašnjenja koje sam našla na linkovima koje ste mi preporučili. Vrlo su korisni. Crtež se odnosi na trigonometrijsku kružnicu gde sam očitavala uglove čiji su kosinusi [inlmath]\pm\frac{1}{2}[/inlmath] i koja sada ne bi trebalo više da bude zamišljena.

Kosinus ugla.png
Kosinus ugla.png (6.59 KiB) Pogledano 118 puta
Jola  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Daniel » Subota, 02. Februar 2019, 17:46

Nema na čemu. Ne moramo se persirati (što se mene tiče). Da, to je ta slika, za uglove [inlmath]4x[/inlmath]. Naravno, za konačno rešenje, tj. za uglove [inlmath]x[/inlmath], na kružnici će biti veća „gužva“, jer će svakome od ovih uglova odgovarati po četiri nova ugla.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7682
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 22. Avgust 2019, 04:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs