Trigonometrijska jednačina
Poslato: Sreda, 30. Januar 2019, 23:12
Zadatak glasi: rešiti jednačinu u skupu realnih brojeva
[dispmath]\cos^24x=\frac{1}{4}[/dispmath] Rešila sam na dva načina, pa me zanima da li su oba načina u redu?
Prvi način:
[dispmath]\cos^24x-\frac{1}{4}=0\\
\left(\cos4x-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\cos4x+\frac{1}{2}\right)=0\\
\cos4x=\frac{1}{2}\qquad\lor\qquad\cos4x=-\frac{1}{2}\\
\cos4x=\pm\frac{1}{2}[/dispmath] Sa zamišljene trigonometrijske kružnice (za sada je zamišljena dok ne naučim kako ovde da ubacim crtež) sledi rešenje
[dispmath]4x=\frac{\pi}{3}+k\pi\qquad\lor\qquad4x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Odnosno
[dispmath]x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{4}\qquad\lor\qquad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{4}\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Drugi način:
[dispmath]\cos^24x=\frac{1}{4}\\
\cos^24x-\frac{1}{4}=0\\
\left(\cos4x-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\cos4x+\frac{1}{2}\right)=0\\
\cos4x=\frac{1}{2}\qquad\lor\qquad\cos4x=-\frac{1}{2}[/dispmath] Sa zamišljene trigonometrijske kružnice sledi rešenje
[dispmath]4x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\lor\quad4x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi\quad\lor\quad4x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\lor\quad4x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Odnosno
[dispmath]x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\quad\lor\quad x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2}\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Odnosno, zapisano drugačije
[dispmath]x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\qquad\lor\qquad x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Hvala!
[dispmath]\cos^24x=\frac{1}{4}[/dispmath] Rešila sam na dva načina, pa me zanima da li su oba načina u redu?
Prvi način:
[dispmath]\cos^24x-\frac{1}{4}=0\\
\left(\cos4x-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\cos4x+\frac{1}{2}\right)=0\\
\cos4x=\frac{1}{2}\qquad\lor\qquad\cos4x=-\frac{1}{2}\\
\cos4x=\pm\frac{1}{2}[/dispmath] Sa zamišljene trigonometrijske kružnice (za sada je zamišljena dok ne naučim kako ovde da ubacim crtež) sledi rešenje
[dispmath]4x=\frac{\pi}{3}+k\pi\qquad\lor\qquad4x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Odnosno
[dispmath]x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{4}\qquad\lor\qquad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{4}\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Drugi način:
[dispmath]\cos^24x=\frac{1}{4}\\
\cos^24x-\frac{1}{4}=0\\
\left(\cos4x-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\cos4x+\frac{1}{2}\right)=0\\
\cos4x=\frac{1}{2}\qquad\lor\qquad\cos4x=-\frac{1}{2}[/dispmath] Sa zamišljene trigonometrijske kružnice sledi rešenje
[dispmath]4x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\lor\quad4x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi\quad\lor\quad4x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\lor\quad4x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Odnosno
[dispmath]x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\quad\lor\quad x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2}\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Odnosno, zapisano drugačije
[dispmath]x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\qquad\lor\qquad x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\qquad k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Hvala!