Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijska jednacina

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Moderator: Corba248

Trigonometrijska jednacina

Postod Vakson » Nedelja, 31. Mart 2019, 20:53

Zadatak glasi
Zbir svih realnih vrednosti resenja jednacine
[dispmath]\sqrt{\sin2x}=\sqrt{\cos x-\sin x-1}[/dispmath] na intervalu [inlmath]\left[-\frac{7\pi}{2},0\right][/inlmath]
Kada ovo sredimo dobija se
[inlmath]\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0[/inlmath]
Pa imamo Resenje [inlmath]\sin\frac{x}{2}=0,\;x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] i resenje druge [inlmath]\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0[/inlmath] koja je ustvari [inlmath]\tan\frac{x}{2}=-1[/inlmath] pa je resenje ove [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]

Ovo je zadatak iz zbirke Nenada Cakica i zbirci je dato resenje sve u vezi ovog zadatka mi je jasno osim dela kada iz ovih resenja dobije druga resenja u zadatom intervalu koja glase [inlmath]-\frac{5\pi}{2},-2\pi,-\frac{\pi}{2},0[/inlmath]. :( Ako neko moze da mi objasni taj proces prilagodjavanja resenja zadatom intervalu bio bi presrecan.
Unapred Hvala :D
Vakson  OFFLINE
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 5 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Trigonometrijska jednacina

Postod Jovan111 » Ponedeljak, 01. April 2019, 22:13

Pozdrav! Pre svega je, pre početka rešavanja, potrebno naći skup dopustivih rešenja (pošto postoji koren) pre kvadriranja.
[dispmath]D\colon\sin(2x)\ge0\;\land\;\cos(x)-\sin(x)-1\ge0\tag1[/dispmath] Da ne bi trošio vreme i tražio presek intervala koji daju ove nejednačine, možeš nastaviti zadatak i na kraju ubaciti dobijena rešenja i proveriti da li se dobijaju tačne nejednakosti (te ukoliko je to slučaj, takva rešenja prihvatamo).



Ako pretpostavimo da si tačno transformisao polaznu jednačinu dobivši:
[dispmath]\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0[/dispmath][dispmath]\sin\frac{x}{2}=0\;\lor\;\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=0[/dispmath] onda si pogrešio pri nalaženju rešenja, jer odavde slede rešenja:
[dispmath]{\color{red}\frac{x}{2}=k\pi}\;\lor\;\tan\frac{x}{2}=-1[/dispmath][dispmath]{\color{red}x=2k\pi}\;\lor\;x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/dispmath] Sada ostaje ubaciti ih u nejednakosti [inlmath](1)[/inlmath] i pošto to učiniš videćeš da su oba rešenja prihvatljiva. Ako se traže samo ona rešenja iz intervala [inlmath]\left[-\frac{7\pi}{2},0\right][/inlmath], onda u stvari pokušavaš da vidiš kakvo bi [inlmath]k[/inlmath] trebalo da ti bude na sledeći način
[dispmath]-\frac{7\pi}{2}\le2k\pi\le0[/dispmath][dispmath]-\frac{7}{4}\le k\le0[/dispmath] Pošto je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj, a imamo da je [inlmath]-\frac{7}{4}=-1,75[/inlmath], onda celobrojno [inlmath]k[/inlmath] može imati vrednosti [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath], te rešenja dobijamo za te vrednosti [inlmath]k[/inlmath], a to su [inlmath]x=-2\pi[/inlmath] i [inlmath]x=0[/inlmath]. Sa druge strane, za drugo rešenje jednačine imamo isto da mora biti u intervalu [inlmath]\left[-\frac{7\pi}{2},0\right][/inlmath], te proveravamo kakvo nam [inlmath]k[/inlmath] treba na isti način.
[dispmath]-\frac{7\pi}{2}\le-\frac{\pi}{2}+2k\pi\le0[/dispmath][dispmath]-\frac{7\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\le2k\pi\le\frac{\pi}{2}[/dispmath][dispmath]-3\pi\le2k\pi\le\frac{\pi}{2}[/dispmath][dispmath]-\frac{3}{2}\le k\le\frac{1}{4}[/dispmath][dispmath]-1,5\le k\le0.25[/dispmath] Kao što rekoh, pošto je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj vidimo da su moguće vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] (koje nama trebaju) [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath], što kad se uvrsti u [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] daje rešenja [inlmath]x=-\frac{5\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}[/inlmath]. To bi trebalo da su sva rešenja iz intervala [inlmath]\left[-\frac{7\pi}{2},0\right][/inlmath]. Nalaženje [inlmath]k[/inlmath] na ovaj način je u redu, ali oduzima dosta vremena, te i ja češće posežem za isprobavanjem za [inlmath]k[/inlmath] koje je nula i par brojeva za [inlmath]k[/inlmath] oko nule, sve dok rešenja koja dobijam ne izađu iz zadatog intervala, što smatram bržim i lakšim nego ovako.



Iako sam odgovorio na tvoje pitanje zamolio bih te da mi pojasniš kako si od jednačine:
[dispmath]\sqrt{\sin2x}=\sqrt{\cos x-\sin x-1}\;\Longrightarrow\;\sin2x=\cos x-\sin x-1\tag{*}[/dispmath] dobio jednačinu
[dispmath]\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0\tag{**}[/dispmath] iz koje smo dobili konačna rešenja. Ja sam pokušavao, ali nisam uspeo. Čak sam pokušao iz jednačine [inlmath](**)[/inlmath] da se vratim u [inlmath](*)[/inlmath], ali bezuspešno, jer se malim sređivanjima dobije
[dispmath]\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0\;\Longleftrightarrow\;\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=0\iff[/dispmath][dispmath]\iff2\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=0\iff1-\cos x+\sin x=0[/dispmath] što mi govori da se negde izgubio član [inlmath]\sin2x[/inlmath], sem ako nisam (a daleko od toga da je to nemoguće :D ) nešto pogrešio u svom razmišljanju.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 157 puta

Re: Trigonometrijska jednacina

Postod Vakson » Utorak, 09. April 2019, 19:51

Zahvaljujem na trudu sto si ispisao sve ovo kako bi meni pojasnio ovo (mada sam nasao slicnu temu na ovom forumu gde je prikazana metoda)
Sto se tice postupka resavanja zadatka ispisacu ga kasnije danas ili u toku ove nedelje (Nemam bas puno vremena) {mozda ti cak i porukom na ovom forumu posaljem nzm videcu :P}
Hvala na pomoci ^^
Vakson  OFFLINE
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 5 puta

  • +2

Re: Trigonometrijska jednacina

Postod Daniel » Četvrtak, 11. April 2019, 12:49

I mene bi veoma zanimao odgovor na ovo pitanje,
Jovan111 je napisao:zamolio bih te da mi pojasniš kako si od jednačine:
[dispmath]\sqrt{\sin2x}=\sqrt{\cos x-\sin x-1}\;\Longrightarrow\;\sin2x=\cos x-\sin x-1\tag{*}[/dispmath] dobio jednačinu
[dispmath]\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0\tag{**}[/dispmath]

pa se nadam, @Vaksone, da ćeš odgovoriti ovde a ne preko privatne poruke. Kad budeš imao vremena, ništa hitno.

U međuvremenu, dao bih i neku svoju ideju za rešavanje ovog zadatka. Iz uslova da je [inlmath]\sin2x[/inlmath] nenegativno (jer se nalazi pod korenom) sledi da je [inlmath]2\sin x \cos x\ge0[/inlmath], što znači da [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] moraju biti istog znaka (ili da je neki od njih nula). To znači da ugao [inlmath]x[/inlmath] mora pripadati ili prvom ili trećem kvadrantu (uključujući i njihove granice), a to, opet, znači da razlika sinusa i kosinusa ne može biti veća od jedinice. Odatle sledi da [inlmath]\cos x-\sin x-1[/inlmath] ne može biti veće od nule, a pošto taj izraz takođe predstavlja potkorenu veličinu i ne sme biti manji od nule, sledi da [inlmath]\cos x-\sin x-1[/inlmath] jedino može biti jednako nuli. (Možda je to, @Vaksone, zapravo bio i tvoj način, nakon čega si [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] transformisao u sinus i kosinus polovine ugla?) E sad, pošto smo zaključili da desna strana mora biti jednaka nuli, znači da mora biti i leva, tj. [inlmath]\sin2x=0[/inlmath], a odatle [inlmath]\sin x=0\;\lor\cos x=0[/inlmath]. Uvrštavanjem oba slučaja u [inlmath]\cos x-\sin x-1=0[/inlmath] dobije se
[inlmath]\sin x=0\;\Longrightarrow\;\cos x=1\\
\cos x=0\;\Longrightarrow\;\sin x=-1[/inlmath]
pri čemu se u oba slučaja dobiju saglasna rešenja za sinus i kosinus (jer, da smo npr. uvrštavanjem dobili [inlmath]\sin x=0\;\Longrightarrow\;\cos x=\frac{1}{2}[/inlmath], tada taj slučaj ne bi imao rešenja).
Iz prvog slučaja se dobije [inlmath]x=2k\pi[/inlmath], a iz drugog slučaja [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]. Jedino je još preostalo dobijena rešenja ograničiti na zadati interval, onako kako je to Jovan111 pokazao.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7760
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4080 puta
Pohvaljen: 4133 puta

  • +2

Re: Trigonometrijska jednacina

Postod Vakson » Ponedeljak, 15. April 2019, 21:56

Ovo bih radije nazvao Cakicevim nacinom jer sam video postupak iz njegove zbirke.
Neka je [inlmath]\cos x-\sin x=t[/inlmath] pa je (zbog korena) [inlmath]t-1\ge0,\;t\ge1[/inlmath]
Sad kako je:
[dispmath](\cos x-\sin x)^2=\cos^2x-2\sin x\cos x+\sin^2x\\
(\cos x-\sin x)^2=1-\sin2x[/dispmath] Odavde izrazimo [inlmath]\sin2x=1-t^2[/inlmath]
Pa se jednacina svodi na [inlmath]\sqrt{1-t^2}=\sqrt{t-1}[/inlmath] Kvadriramo i dobijemo [inlmath]1-t^2=t-1[/inlmath]
Odavde je [inlmath]t=1,\;t=-2[/inlmath] zbog uslova da [inlmath]t\ge1[/inlmath] ostaje samo jedno resenje za [inlmath]t[/inlmath].
Sada zamenimo :arrow: [inlmath]\cos x-\sin x=1\;\Longrightarrow\;1-\cos x+\sin x=0[/inlmath]
[inlmath]\cos x=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}[/inlmath], [inlmath]\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}[/inlmath]
[dispmath]1-\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0\\
2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0[/dispmath] Pa imamo [inlmath]\sin\frac{x}{2}=0\;\lor\;\sin\frac{x}{2}=-\cos\frac{x}{2}[/inlmath], Ovu drugu podelimo sa [inlmath]\cos\frac{x}{2}[/inlmath], i dobijemo [inlmath]\tan\frac{x}{2}=-1[/inlmath]
I nakon ovoga nadjemo resenja u zadatom intervalu koja je jovan odredio.
Vakson  OFFLINE
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 5 puta

  • +1

Re: Trigonometrijska jednacina

Postod Jovan111 » Ponedeljak, 15. April 2019, 22:16

Vakson je napisao:Pa se jednacina svodi na [inlmath]\sqrt{1-t^2}=\sqrt{t-1}[/inlmath] Kvadriramo i dobijemo [inlmath]1-t^2=t-1[/inlmath]
Odavde je [inlmath]t=1,\;t=-2[/inlmath] zbog uslova da [inlmath]t\ge1[/inlmath] ostaje samo jedno resenje za [inlmath]t[/inlmath].

Hvala na odgovoru. Ja bih samo primetio da postoji i uslov [inlmath]1-t^2\ge0[/inlmath] iz kog se nalazi da je [inlmath]t\in[-1,1][/inlmath], što u preseku sa uslovom [inlmath]t\ge1[/inlmath] daje da [inlmath]t[/inlmath] može biti jedino jednako [inlmath]1[/inlmath], to jest dovoljno je da proverimo da li zaista [inlmath]\cos x-\sin x=1[/inlmath], odnosno [inlmath]\cos x-\sin x-1=0[/inlmath] (što je i Daniel u svom postu takođe uočio) daje rešenja čijim ćemo uvrštavanjem u polaznu jednačinu dobiti tačne jednakosti.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 157 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 9 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 20. Novembar 2019, 17:48 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs