Trigonometrijska jednacina

PostPoslato: Nedelja, 31. Mart 2019, 21:53
od Vakson
Zadatak glasi
Zbir svih realnih vrednosti resenja jednacine
[dispmath]\sqrt{\sin2x}=\sqrt{\cos x-\sin x-1}[/dispmath] na intervalu [inlmath]\left[-\frac{7\pi}{2},0\right][/inlmath]
Kada ovo sredimo dobija se
[inlmath]\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0[/inlmath]
Pa imamo Resenje [inlmath]\sin\frac{x}{2}=0,\;x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] i resenje druge [inlmath]\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0[/inlmath] koja je ustvari [inlmath]\tan\frac{x}{2}=-1[/inlmath] pa je resenje ove [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]

Ovo je zadatak iz zbirke Nenada Cakica i zbirci je dato resenje sve u vezi ovog zadatka mi je jasno osim dela kada iz ovih resenja dobije druga resenja u zadatom intervalu koja glase [inlmath]-\frac{5\pi}{2},-2\pi,-\frac{\pi}{2},0[/inlmath]. :( Ako neko moze da mi objasni taj proces prilagodjavanja resenja zadatom intervalu bio bi presrecan.
Unapred Hvala :D

Re: Trigonometrijska jednacina

PostPoslato: Ponedeljak, 01. April 2019, 23:13
od Jovan111
Pozdrav! Pre svega je, pre početka rešavanja, potrebno naći skup dopustivih rešenja (pošto postoji koren) pre kvadriranja.
[dispmath]D\colon\sin(2x)\ge0\;\land\;\cos(x)-\sin(x)-1\ge0\tag1[/dispmath] Da ne bi trošio vreme i tražio presek intervala koji daju ove nejednačine, možeš nastaviti zadatak i na kraju ubaciti dobijena rešenja i proveriti da li se dobijaju tačne nejednakosti (te ukoliko je to slučaj, takva rešenja prihvatamo).



Ako pretpostavimo da si tačno transformisao polaznu jednačinu dobivši:
[dispmath]\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0[/dispmath][dispmath]\sin\frac{x}{2}=0\;\lor\;\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=0[/dispmath] onda si pogrešio pri nalaženju rešenja, jer odavde slede rešenja:
[dispmath]{\color{red}\frac{x}{2}=k\pi}\;\lor\;\tan\frac{x}{2}=-1[/dispmath][dispmath]{\color{red}x=2k\pi}\;\lor\;x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/dispmath] Sada ostaje ubaciti ih u nejednakosti [inlmath](1)[/inlmath] i pošto to učiniš videćeš da su oba rešenja prihvatljiva. Ako se traže samo ona rešenja iz intervala [inlmath]\left[-\frac{7\pi}{2},0\right][/inlmath], onda u stvari pokušavaš da vidiš kakvo bi [inlmath]k[/inlmath] trebalo da ti bude na sledeći način
[dispmath]-\frac{7\pi}{2}\le2k\pi\le0[/dispmath][dispmath]-\frac{7}{4}\le k\le0[/dispmath] Pošto je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj, a imamo da je [inlmath]-\frac{7}{4}=-1,75[/inlmath], onda celobrojno [inlmath]k[/inlmath] može imati vrednosti [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath], te rešenja dobijamo za te vrednosti [inlmath]k[/inlmath], a to su [inlmath]x=-2\pi[/inlmath] i [inlmath]x=0[/inlmath]. Sa druge strane, za drugo rešenje jednačine imamo isto da mora biti u intervalu [inlmath]\left[-\frac{7\pi}{2},0\right][/inlmath], te proveravamo kakvo nam [inlmath]k[/inlmath] treba na isti način.
[dispmath]-\frac{7\pi}{2}\le-\frac{\pi}{2}+2k\pi\le0[/dispmath][dispmath]-\frac{7\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\le2k\pi\le\frac{\pi}{2}[/dispmath][dispmath]-3\pi\le2k\pi\le\frac{\pi}{2}[/dispmath][dispmath]-\frac{3}{2}\le k\le\frac{1}{4}[/dispmath][dispmath]-1,5\le k\le0.25[/dispmath] Kao što rekoh, pošto je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj vidimo da su moguće vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] (koje nama trebaju) [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath], što kad se uvrsti u [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] daje rešenja [inlmath]x=-\frac{5\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}[/inlmath]. To bi trebalo da su sva rešenja iz intervala [inlmath]\left[-\frac{7\pi}{2},0\right][/inlmath]. Nalaženje [inlmath]k[/inlmath] na ovaj način je u redu, ali oduzima dosta vremena, te i ja češće posežem za isprobavanjem za [inlmath]k[/inlmath] koje je nula i par brojeva za [inlmath]k[/inlmath] oko nule, sve dok rešenja koja dobijam ne izađu iz zadatog intervala, što smatram bržim i lakšim nego ovako.



Iako sam odgovorio na tvoje pitanje zamolio bih te da mi pojasniš kako si od jednačine:
[dispmath]\sqrt{\sin2x}=\sqrt{\cos x-\sin x-1}\;\Longrightarrow\;\sin2x=\cos x-\sin x-1\tag{*}[/dispmath] dobio jednačinu
[dispmath]\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0\tag{**}[/dispmath] iz koje smo dobili konačna rešenja. Ja sam pokušavao, ali nisam uspeo. Čak sam pokušao iz jednačine [inlmath](**)[/inlmath] da se vratim u [inlmath](*)[/inlmath], ali bezuspešno, jer se malim sređivanjima dobije
[dispmath]\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0\;\Longleftrightarrow\;\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=0\iff[/dispmath][dispmath]\iff2\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=0\iff1-\cos x+\sin x=0[/dispmath] što mi govori da se negde izgubio član [inlmath]\sin2x[/inlmath], sem ako nisam (a daleko od toga da je to nemoguće :D ) nešto pogrešio u svom razmišljanju.

Re: Trigonometrijska jednacina

PostPoslato: Utorak, 09. April 2019, 20:51
od Vakson
Zahvaljujem na trudu sto si ispisao sve ovo kako bi meni pojasnio ovo (mada sam nasao slicnu temu na ovom forumu gde je prikazana metoda)
Sto se tice postupka resavanja zadatka ispisacu ga kasnije danas ili u toku ove nedelje (Nemam bas puno vremena) {mozda ti cak i porukom na ovom forumu posaljem nzm videcu :P}
Hvala na pomoci ^^

Re: Trigonometrijska jednacina

PostPoslato: Četvrtak, 11. April 2019, 13:49
od Daniel
I mene bi veoma zanimao odgovor na ovo pitanje,
Jovan111 je napisao:zamolio bih te da mi pojasniš kako si od jednačine:
[dispmath]\sqrt{\sin2x}=\sqrt{\cos x-\sin x-1}\;\Longrightarrow\;\sin2x=\cos x-\sin x-1\tag{*}[/dispmath] dobio jednačinu
[dispmath]\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0\tag{**}[/dispmath]

pa se nadam, @Vaksone, da ćeš odgovoriti ovde a ne preko privatne poruke. Kad budeš imao vremena, ništa hitno.

U međuvremenu, dao bih i neku svoju ideju za rešavanje ovog zadatka. Iz uslova da je [inlmath]\sin2x[/inlmath] nenegativno (jer se nalazi pod korenom) sledi da je [inlmath]2\sin x \cos x\ge0[/inlmath], što znači da [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] moraju biti istog znaka (ili da je neki od njih nula). To znači da ugao [inlmath]x[/inlmath] mora pripadati ili prvom ili trećem kvadrantu (uključujući i njihove granice), a to, opet, znači da razlika sinusa i kosinusa ne može biti veća od jedinice. Odatle sledi da [inlmath]\cos x-\sin x-1[/inlmath] ne može biti veće od nule, a pošto taj izraz takođe predstavlja potkorenu veličinu i ne sme biti manji od nule, sledi da [inlmath]\cos x-\sin x-1[/inlmath] jedino može biti jednako nuli. (Možda je to, @Vaksone, zapravo bio i tvoj način, nakon čega si [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] transformisao u sinus i kosinus polovine ugla?) E sad, pošto smo zaključili da desna strana mora biti jednaka nuli, znači da mora biti i leva, tj. [inlmath]\sin2x=0[/inlmath], a odatle [inlmath]\sin x=0\;\lor\cos x=0[/inlmath]. Uvrštavanjem oba slučaja u [inlmath]\cos x-\sin x-1=0[/inlmath] dobije se
[inlmath]\sin x=0\;\Longrightarrow\;\cos x=1\\
\cos x=0\;\Longrightarrow\;\sin x=-1[/inlmath]
pri čemu se u oba slučaja dobiju saglasna rešenja za sinus i kosinus (jer, da smo npr. uvrštavanjem dobili [inlmath]\sin x=0\;\Longrightarrow\;\cos x=\frac{1}{2}[/inlmath], tada taj slučaj ne bi imao rešenja).
Iz prvog slučaja se dobije [inlmath]x=2k\pi[/inlmath], a iz drugog slučaja [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]. Jedino je još preostalo dobijena rešenja ograničiti na zadati interval, onako kako je to Jovan111 pokazao.

Re: Trigonometrijska jednacina

PostPoslato: Ponedeljak, 15. April 2019, 22:56
od Vakson
Ovo bih radije nazvao Cakicevim nacinom jer sam video postupak iz njegove zbirke.
Neka je [inlmath]\cos x-\sin x=t[/inlmath] pa je (zbog korena) [inlmath]t-1\ge0,\;t\ge1[/inlmath]
Sad kako je:
[dispmath](\cos x-\sin x)^2=\cos^2x-2\sin x\cos x+\sin^2x\\
(\cos x-\sin x)^2=1-\sin2x[/dispmath] Odavde izrazimo [inlmath]\sin2x=1-t^2[/inlmath]
Pa se jednacina svodi na [inlmath]\sqrt{1-t^2}=\sqrt{t-1}[/inlmath] Kvadriramo i dobijemo [inlmath]1-t^2=t-1[/inlmath]
Odavde je [inlmath]t=1,\;t=-2[/inlmath] zbog uslova da [inlmath]t\ge1[/inlmath] ostaje samo jedno resenje za [inlmath]t[/inlmath].
Sada zamenimo :arrow: [inlmath]\cos x-\sin x=1\;\Longrightarrow\;1-\cos x+\sin x=0[/inlmath]
[inlmath]\cos x=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}[/inlmath], [inlmath]\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}[/inlmath]
[dispmath]1-\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0\\
2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0[/dispmath] Pa imamo [inlmath]\sin\frac{x}{2}=0\;\lor\;\sin\frac{x}{2}=-\cos\frac{x}{2}[/inlmath], Ovu drugu podelimo sa [inlmath]\cos\frac{x}{2}[/inlmath], i dobijemo [inlmath]\tan\frac{x}{2}=-1[/inlmath]
I nakon ovoga nadjemo resenja u zadatom intervalu koja je jovan odredio.

Re: Trigonometrijska jednacina

PostPoslato: Ponedeljak, 15. April 2019, 23:16
od Jovan111
Vakson je napisao:Pa se jednacina svodi na [inlmath]\sqrt{1-t^2}=\sqrt{t-1}[/inlmath] Kvadriramo i dobijemo [inlmath]1-t^2=t-1[/inlmath]
Odavde je [inlmath]t=1,\;t=-2[/inlmath] zbog uslova da [inlmath]t\ge1[/inlmath] ostaje samo jedno resenje za [inlmath]t[/inlmath].

Hvala na odgovoru. Ja bih samo primetio da postoji i uslov [inlmath]1-t^2\ge0[/inlmath] iz kog se nalazi da je [inlmath]t\in[-1,1][/inlmath], što u preseku sa uslovom [inlmath]t\ge1[/inlmath] daje da [inlmath]t[/inlmath] može biti jedino jednako [inlmath]1[/inlmath], to jest dovoljno je da proverimo da li zaista [inlmath]\cos x-\sin x=1[/inlmath], odnosno [inlmath]\cos x-\sin x-1=0[/inlmath] (što je i Daniel u svom postu takođe uočio) daje rešenja čijim ćemo uvrštavanjem u polaznu jednačinu dobiti tačne jednakosti.