Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Naci A, ako je Asin(x) + Bsin(3x) + Csin(5x) = sin^5(x)

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Moderator: Corba248

Naci A, ako je Asin(x) + Bsin(3x) + Csin(5x) = sin^5(x)

Postod Jovan111 » Četvrtak, 02. Maj 2019, 17:46

Pozdrav! Zadatak glasi: "Ako je izraz [inlmath]A\sin(x)+B\sin(3x)+C\sin(5x)[/inlmath] identički jednak [inlmath]\sin^5(x)[/inlmath], pri čemu su [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] konstante, koliko iznosi [inlmath]A[/inlmath]?"

Rešenje zadatka je [inlmath]\frac{5}{8}[/inlmath].



Ovaj zadatak se javio na prijemnom za mašinski fakultet, ako nekom znači. E sad, ja sam imao jedino ideju da primenim adicione formule, čime bih dobio:
[dispmath]\sin(3x)=-4\sin^3(x)+3\sin(x)\\
\land\\
\sin(5x)=-10\sin^3(x)+8\sin^5(x)+3\sin(x)+2\sin(x)\cdot\cos^4(x)-6\sin(x)\cdot\cos^2(x)[/dispmath] ili već nešto slično (verovatno sam nešto pogrešio), ali svakako to mi se ne čini kao put ka rešenju. Nadam se da neko zna kako drugačije da rešim ovaj zadatak :D
Korisnikov avatar
Moderator
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 156 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Naci A, ako je Asin(x) + Bsin(3x) + Csin(5x) = sin^5(x)

Postod Daniel » Četvrtak, 02. Maj 2019, 22:16

A zašto ne? Ideja ti je dobra, proveri samo izraz za [inlmath]\sin5x[/inlmath], u njemu negde imaš grešku. Možda ti je najlakše da ga napišeš kao [inlmath]\sin(3x+2x)[/inlmath] (jer si [inlmath]\sin3x[/inlmath] već izračunao) i onda razviješ po adicionoj. Sve kosinuse koji se zatim pojave izrazi preko sinusa (što nije problem, jer će svi kosinusi biti dignuti na parne stepene) i onda, kad sve to uvrstiš u početni izraz i središ, dobićeš izraz u kojem figurišu [inlmath]\sin x[/inlmath], [inlmath]\sin^3x[/inlmath] i [inlmath]\sin^5x[/inlmath]. Koeficijente uz [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\sin^3x[/inlmath] izjednačiš s nulom, a koeficijent uz [inlmath]\sin^5x[/inlmath] izjednačiš s jedinicom (jer ceo taj izraz treba da bude identički jednak samo [inlmath]\sin^5x[/inlmath]) i odatle odrediš koeficijente...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

  • +1

Re: Naci A, ako je Asin(x) + Bsin(3x) + Csin(5x) = sin^5(x)

Postod Jovan111 » Četvrtak, 02. Maj 2019, 23:35

Hvala, zaista može i na ovaj način, iako mi se činilo nekako dugo rešiti na taj način na prijemnom, ali u stvari i nije toliko dugo uz malo koncentracije. Uz malo truda može se na ovaj način vrlo lako doći do rešenja.



Kad se sredi dobije se
[dispmath]\sin(3x)=-4\sin^3(x)+3\sin(x)\\
\land\\
\sin(5x)=-10\sin^3(x)+8\sin^5(x)+3\sin(x)+{\color{red}8}\sin(x)\cdot\cos^4(x)-6\sin(x)\cdot\cos^2(x)[/dispmath] odnosno
[dispmath]\sin(3x)=-4\sin^3(x)+3\sin(x)\\
\land\\
\sin(5x)=16\sin^5(x)-20\sin^3(x)+5\sin(x)[/dispmath] što kad se uvrsti daje:
[dispmath]A\sin(x)+B\sin(3x)+C\sin(5x)\equiv\sin^5(x)\iff\\
\iff(A+3B+5C)\sin(x)-(4B+20C)\sin^3(x)+16C\sin^5(x)\equiv\sin^5(x)[/dispmath] odakle se izjednače koeficijenti i zaista se dobije:
[dispmath]C=\frac{1}{16}\;\land\;A=-3B-5C=10C=\frac{5}{8}[/dispmath]


Hvala još jednom!
Korisnikov avatar
Moderator
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 156 puta

  • +1

Re: Naci A, ako je Asin(x) + Bsin(3x) + Csin(5x) = sin^5(x)

Postod Daniel » Petak, 03. Maj 2019, 00:06

Tako je, to je to. :thumb-up: Uštedećeš sebi još više truda i vremena ako ne budeš pisao sve ove nepotrebne zagrade kod argumenata sinusa i kosinusa. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 19. Avgust 2019, 11:22 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs