Izraz sa sinusom – prvi probni prijemni FON 2019.
Poslato: Ponedeljak, 08. Jul 2019, 09:52
Prvi probni prijemni ispit FON – 9. jun 2019.
16. zadatak
Vrednost izraza [inlmath]1-2\sin^2735^\circ[/inlmath] je:
[inlmath]\displaystyle A)\;-\frac{\sqrt2}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle B)\;-\frac{\sqrt3}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\frac{1}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{D)}\;\frac{\sqrt3}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{\sqrt2}{2};\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]
Najpre ćemo naći [inlmath]\sin735^\circ[/inlmath].
[dispmath]\sin735^\circ=\sin720^\circ+\sin15^\circ[/dispmath] Kako je [inlmath]\sin720^\circ=2\cdot\sin360^\circ[/inlmath], onda je [inlmath]\sin720^\circ=0[/inlmath]
Na osnovu ovoga, dobijamo da je:
[dispmath]\sin735^\circ=\sin15^\circ[/dispmath] [inlmath]\sin15^\circ[/inlmath] možemo dobiti kao:
[dispmath]\sin15^\circ=\sin45^\circ-\sin30^\circ[/dispmath] Sada je:
[dispmath]\sin15^\circ=\sin45^\circ\cdot\cos30^\circ-\cos45^\circ\cdot\sin30^\circ[/dispmath] Sredićemo:
[dispmath]\sin15^\circ=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{2}\\
\sin15^\circ=\frac{\sqrt3}{2\sqrt2}-\frac{1}{2\sqrt2}\\
\sin15^\circ=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}[/dispmath] Sada, po uslovima zadatka, možemo kvadrirati:
[dispmath]\sin^215^\circ=\left(\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}\right)^2\\
\sin^215^\circ=\frac{4-2\sqrt3}{8}\\
\sin^215^\circ=\frac{2\left(2-\sqrt3\right)}{8}
\sin^215^\circ=\frac{2-\sqrt3}{4}[/dispmath] Dobili smo:
[dispmath]\sin^2735^\circ=\frac{2-\sqrt3}{4}[/dispmath] Nastavićemo sa rešavanjem izraza:
[dispmath]1-2\cdot\left(\frac{2-\sqrt3}{4}\right)\\
1-\left(\frac{2-\sqrt3}{2}\right)\\
\frac{2}{2}-\left(\frac{2-\sqrt3}{2}\right)[/dispmath] Pazimo na minus:
[dispmath]\frac{2-2+\sqrt3}{2}[/dispmath] Na kraju je vrednost izraza:
[dispmath]\enclose{box}{\frac{\sqrt3}{2}}[/dispmath]
16. zadatak
Vrednost izraza [inlmath]1-2\sin^2735^\circ[/inlmath] je:
[inlmath]\displaystyle A)\;-\frac{\sqrt2}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle B)\;-\frac{\sqrt3}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\frac{1}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{D)}\;\frac{\sqrt3}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{\sqrt2}{2};\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]
Najpre ćemo naći [inlmath]\sin735^\circ[/inlmath].
[dispmath]\sin735^\circ=\sin720^\circ+\sin15^\circ[/dispmath] Kako je [inlmath]\sin720^\circ=2\cdot\sin360^\circ[/inlmath], onda je [inlmath]\sin720^\circ=0[/inlmath]
Na osnovu ovoga, dobijamo da je:
[dispmath]\sin735^\circ=\sin15^\circ[/dispmath] [inlmath]\sin15^\circ[/inlmath] možemo dobiti kao:
[dispmath]\sin15^\circ=\sin45^\circ-\sin30^\circ[/dispmath] Sada je:
[dispmath]\sin15^\circ=\sin45^\circ\cdot\cos30^\circ-\cos45^\circ\cdot\sin30^\circ[/dispmath] Sredićemo:
[dispmath]\sin15^\circ=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{2}\\
\sin15^\circ=\frac{\sqrt3}{2\sqrt2}-\frac{1}{2\sqrt2}\\
\sin15^\circ=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}[/dispmath] Sada, po uslovima zadatka, možemo kvadrirati:
[dispmath]\sin^215^\circ=\left(\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}\right)^2\\
\sin^215^\circ=\frac{4-2\sqrt3}{8}\\
\sin^215^\circ=\frac{2\left(2-\sqrt3\right)}{8}
\sin^215^\circ=\frac{2-\sqrt3}{4}[/dispmath] Dobili smo:
[dispmath]\sin^2735^\circ=\frac{2-\sqrt3}{4}[/dispmath] Nastavićemo sa rešavanjem izraza:
[dispmath]1-2\cdot\left(\frac{2-\sqrt3}{4}\right)\\
1-\left(\frac{2-\sqrt3}{2}\right)\\
\frac{2}{2}-\left(\frac{2-\sqrt3}{2}\right)[/dispmath] Pazimo na minus:
[dispmath]\frac{2-2+\sqrt3}{2}[/dispmath] Na kraju je vrednost izraza:
[dispmath]\enclose{box}{\frac{\sqrt3}{2}}[/dispmath]