Izraz sa sinusom – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Ponedeljak, 08. Jul 2019, 09:52
od Stefan Boricic
Prvi probni prijemni ispit FON – 9. jun 2019.
16. zadatak


Vrednost izraza [inlmath]1-2\sin^2735^\circ[/inlmath] je:
[inlmath]\displaystyle A)\;-\frac{\sqrt2}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle B)\;-\frac{\sqrt3}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\frac{1}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{D)}\;\frac{\sqrt3}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{\sqrt2}{2};\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Najpre ćemo naći [inlmath]\sin735^\circ[/inlmath].
[dispmath]\sin735^\circ=\sin720^\circ+\sin15^\circ[/dispmath] Kako je [inlmath]\sin720^\circ=2\cdot\sin360^\circ[/inlmath], onda je [inlmath]\sin720^\circ=0[/inlmath]

Na osnovu ovoga, dobijamo da je:
[dispmath]\sin735^\circ=\sin15^\circ[/dispmath] [inlmath]\sin15^\circ[/inlmath] možemo dobiti kao:
[dispmath]\sin15^\circ=\sin45^\circ-\sin30^\circ[/dispmath] Sada je:
[dispmath]\sin15^\circ=\sin45^\circ\cdot\cos30^\circ-\cos45^\circ\cdot\sin30^\circ[/dispmath] Sredićemo:
[dispmath]\sin15^\circ=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{2}\\
\sin15^\circ=\frac{\sqrt3}{2\sqrt2}-\frac{1}{2\sqrt2}\\
\sin15^\circ=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}[/dispmath] Sada, po uslovima zadatka, možemo kvadrirati:
[dispmath]\sin^215^\circ=\left(\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}\right)^2\\
\sin^215^\circ=\frac{4-2\sqrt3}{8}\\
\sin^215^\circ=\frac{2\left(2-\sqrt3\right)}{8}
\sin^215^\circ=\frac{2-\sqrt3}{4}[/dispmath] Dobili smo:
[dispmath]\sin^2735^\circ=\frac{2-\sqrt3}{4}[/dispmath] Nastavićemo sa rešavanjem izraza:
[dispmath]1-2\cdot\left(\frac{2-\sqrt3}{4}\right)\\
1-\left(\frac{2-\sqrt3}{2}\right)\\
\frac{2}{2}-\left(\frac{2-\sqrt3}{2}\right)[/dispmath] Pazimo na minus:
[dispmath]\frac{2-2+\sqrt3}{2}[/dispmath] Na kraju je vrednost izraza:
[dispmath]\enclose{box}{\frac{\sqrt3}{2}}[/dispmath]

Re: Izraz sa sinusom – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Ponedeljak, 08. Jul 2019, 11:16
od Daniel
Može se rešiti u jednom redu primenom formule za sinus polovine ugla [inlmath]2\sin^2\frac{\alpha}{2}=1-\cos\alpha[/inlmath]:
[dispmath]1-2\sin^215^\circ=1-(1-\cos30^\circ)=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath]

Re: Izraz sa sinusom – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Ponedeljak, 08. Jul 2019, 11:31
od Stefan Boricic
Može i tako jer je na prijemnom brže, ali ipak ja volim temeljnije.

Re: Izraz sa sinusom – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Ponedeljak, 08. Jul 2019, 15:25
od ubavic
Samo jedna ispravka.
Stefan Boricic je napisao:Najpre ćemo naći [inlmath]\sin735^\circ[/inlmath].
[dispmath]\sin735^\circ=\sin720^\circ+\sin15^\circ[/dispmath] Kako je [inlmath]\sin720^\circ=2\cdot\sin360^\circ[/inlmath], onda je [inlmath]\sin720^\circ=0[/inlmath]

Iako su nevedene jednakosti tačne, deluje da su dobijene pogrešnim zaključivanjem. To se vidi i u nastavku gde si napisao
Stefan Boricic je napisao:[dispmath]\sin15^\circ=\sin45^\circ-\sin30^\circ[/dispmath]

što je ogromna greška.

Re: Izraz sa sinusom – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Ponedeljak, 08. Jul 2019, 19:02
od Daniel
Ovo mi je skroz promaklo, nisam baš detaljno ni gledao priložen postupak, ali, da, slažem se s ubavicem, u pitanju je zaista gruba greška.

Re: Izraz sa sinusom – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Ponedeljak, 08. Jul 2019, 19:10
od Stefan Boricic
Zagrade.....

Re: Izraz sa sinusom – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Petak, 16. Jun 2023, 11:52
od Sunafets
Da li se ovaj izraz može zapisati i kao:
[dispmath]1-2\sin^2x=\left(\cos^2x+\sin^2x\right)-2\sin^2x[/dispmath] Kanije zamenim [inlmath]x[/inlmath] sa [inlmath]15^\circ[/inlmath] i dobijem:
[dispmath]\cos^2x-\sin^2x=\cos2x=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath] Pokusavam da primenim Latex ali ne znam kako prvi mi je post izvinjavam se unapred!

Re: Izraz sa sinusom – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Petak, 16. Jun 2023, 13:20
od Daniel
Da, to je još jedan način.