Stranica 1 od 1

Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Subota, 03. Avgust 2019, 12:32
od DaKažem
Prijemni ispit ETF – 24. jun 2019.
18. zadatak


Ne mogu da verujem da niko ne pita za 18. zadatak sa prijemnog ispita iz matematike na ETF-u 2019.
Evo, ja pitam.

[inlmath]18.[/inlmath] Ako su [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath], [inlmath]\alpha\ge\beta\ge\gamma[/inlmath], uglovi trougla i ako je [inlmath]\sin\alpha−\sin\beta+\sin\gamma=1[/inlmath], onda je ugao [inlmath]\gamma[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;60^\circ\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;20^\circ\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;15^\circ\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;30^\circ\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{(E)}\;45^\circ\qquad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

Hvala!

Re: Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Subota, 03. Avgust 2019, 13:25
od Daniel
Pozdrav, zamoliću te da pročitaš Pravilnik foruma, radi budućih postova. U ovom postu nisi ispoštovao tačke 6, 9. i 13, mada sam ti sada kao novom korisniku progledao kroz prste.

Ovaj zadatak se radi vrlo jednostavno, bez ijedne jedine trigonometrijske formule. Sve što je potrebno to je da uočiš implikaciju [inlmath]\alpha\ge\beta\ge\gamma\;\Longrightarrow\;\sin\alpha\ge\sin\beta\ge\sin\gamma[/inlmath] (koja sledi iz sinusne teoreme), kao i ograničenost sinusne funkcije.
Ovo bi trebalo da ti dâ ideju.

Re: Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Sreda, 07. Avgust 2019, 09:53
od DaKažem
Hvala na ukazanim propustima, potrudiću se da ih ne činim više.
Moram priznati da me uputstvo koje sam dobio nije odvelo do rešenja zadatka. Ono što sam dobio (iz sinusne teoreme) je relacija [inlmath]a-b+c=2R[/inlmath] (tj. [inlmath]s-b=R[/inlmath]) što dalje ima svoju geometrijsku interpretaciju, ali ne verujem da put do rešenja ide tuda ili korišćenjem formula za transformaciju zbir (razlike) u proizvod [inlmath]\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{4}[/inlmath].

Re: Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Sreda, 07. Avgust 2019, 22:12
od Daniel
Kao što rekoh, nije ti potrebno ništa od trigonometrijskih formula (a pogotovo ne tako složene formule kao što je transformacija zbira/razlike u proizvod). Iz sinusne teoreme jedino što treba da zaključiš to je ono što sam već i napisao, da je [inlmath]\sin\alpha\ge\sin\beta\ge\sin\gamma[/inlmath].
Datu jednačinu, kad [inlmath]\sin\beta[/inlmath] i [inlmath]\sin\gamma[/inlmath] pređu na desnu stranu, možeš napisati kao [inlmath]\sin\alpha=1+\sin\beta-\sin\gamma[/inlmath]. Imajući u vidu ograničenost sinusne funkcije, koji opseg vrednosti može imati leva strana ovako napisane jednačine? A imajući u vidu [inlmath]\sin\beta\ge\sin\gamma[/inlmath] (što smo, dakle, zaključili iz sinusne teoreme), koji opseg vrednosti može imati desna strana? Nakon što odgovoriš na ova dva jednostavna pitanja, već će [inlmath]90\%[/inlmath] zadatka biti urađeno. :)

Re: Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Četvrtak, 08. Avgust 2019, 12:04
od DaKažem
Da, da, sad vidim.
[dispmath]\sin\alpha-\sin\beta+\sin\gamma=1\;\Longrightarrow\;\sin\alpha=1+\sin\beta-\sin\gamma[/dispmath] Kako su [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath] uglovi trougla, to je
[dispmath]\sin\alpha\in(0,1],\hspace{5mm}\sin\beta\in(0,1],\hspace{5mm}\sin\gamma\in(0,1][/dispmath] što znači da je i desna strana u istom opsegu tj.
[dispmath]0<1+\sin\beta-\sin\gamma\leq1\\
-1<\sin\beta-\sin\gamma\leq0[/dispmath] Kako je [inlmath]\beta\geq\gamma\;\Longrightarrow\;\sin\beta\geq\sin\gamma[/inlmath] i [inlmath]\sin\beta\in(0,1],\;\sin\gamma\in(0,1][/inlmath] sledi da je
[dispmath]\sin\beta-\sin\gamma\geq0[/dispmath] Iz prethodnih nejednakosti dobija se da važi
[dispmath]\sin\beta-\sin\gamma=0\;\Longrightarrow\;\sin\beta=\sin\gamma\;\Longrightarrow\;\beta=\gamma[/dispmath] Sa druge strane iz
[dispmath]\sin\alpha=1+\sin\beta-\sin\gamma[/dispmath] sledi da je
[dispmath]\sin\alpha=1\;\Longrightarrow\;\alpha=90^\circ[/dispmath] Sada je
[dispmath]\beta+\gamma=90^\circ\;\land\;\beta=\gamma\;\Longrightarrow\;\beta=\gamma=45^\circ[/dispmath] Nadam se da je to to.
Hvala na dobrim instrukcijama.

Re: Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Četvrtak, 08. Avgust 2019, 12:23
od Daniel
Jeste, to je to. Alternativni način bi bio uočiti da je leva strana [inlmath]\le1[/inlmath] a da je desna [inlmath]\ge1[/inlmath], odakle sledi da obe strane moraju biti [inlmath]1[/inlmath]. Pa je odatle [inlmath]\sin\alpha=1[/inlmath] i [inlmath]\sin\beta=\sin\gamma[/inlmath], tj. [inlmath]\alpha=90^\circ[/inlmath] i [inlmath]\beta=\gamma[/inlmath]. A odatle je, naravno, [inlmath]\beta=\gamma=45^\circ[/inlmath].

Re: Uglovi u trouglu – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Petak, 09. Avgust 2019, 08:57
od DaKažem
Još jednom hvala, pre svega na brzim odgovorima.