Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Izrazavanje sinusa preko tangensa

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Izrazavanje sinusa preko tangensa

Postod Frank » Četvrtak, 26. Decembar 2019, 22:43

Kada hocemo da izrazimo [inlmath]\sin x[/inlmath] preko [inlmath]\text{tg }x[/inlmath] neophodno je proveriti da li [inlmath]x[/inlmath] slucajno nije [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] (proveravamo tako sto u polaznu jednacinu umesto [inlmath]x[/inlmath] pisemo [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]). Ako [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] ne zadovoljava polaznu jednacinu onda (po mom misljenju) smemo bez problema izraziti [inlmath]\sin x[/inlmath] preko [inlmath]\text{tg }x[/inlmath].
Medjutim, ako [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] zadovoljava polaznu jednacinu, sta radimo u tom slucaju? Da li smemo izraziti [inlmath]\sin x[/inlmath] preko [inlmath]\text{tg }x[/inlmath] uz postavljanje odredjenih uslova ili zadatak moramo resiti na neki drugi nacin, bez izrazavanja [inlmath]\sin x[/inlmath] preko [inlmath]\text{tg }x[/inlmath]?
Moje pitanje je uopsteno i zbog toga nisam napisao konkretan primer.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Izrazavanje sinusa preko tangensa

Postod Obi » Petak, 27. Decembar 2019, 00:40

U slucaju ako je [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] ili [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath], tangens bi iznosio [inlmath]\frac{1}{0}[/inlmath] ili [inlmath]-\frac{1}{0}[/inlmath] sto znaci da nije definisan, te se sinus ne bi mogao izraziti preko njega. Ispravite me ako gresim.
Obi  OFFLINE
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Izrazavanje sinusa preko tangensa

Postod Daniel » Petak, 27. Decembar 2019, 07:18

Kao što rekoste obojica, tangens za vrednost [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] nije definisan, i sinus se tada ne može izraziti preko tangensa. Ali, za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] znamo da [inlmath]\sin x[/inlmath] iznosi [inlmath]1[/inlmath] (dok za [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath] iznosi [inlmath]-1[/inlmath]), pa ga i nije potrebno izražavati već samo zameniti odgovarajućom vrednošću, zar ne? Prosto kô pasulj. :)



A može i na komplikovaniji (rekao bih čak, i nepotrebno komplikovan) način:
[dispmath]\sin\alpha=\frac{\text{tg }\alpha}{\sqrt{1+\mathrm{tg}^2\alpha}}[/dispmath] (stavio sam [inlmath]+[/inlmath] ispred korena jer ćemo posmatrati približavanje vrednosti [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] sleva, tj. preko uglova u [inlmath]I[/inlmath] kvadrantu). Kako za [inlmath]x\to\frac{\pi}{2}[/inlmath] tangens teži beskonačnosti, možemo uvesti smenu [inlmath]\text{tg }\alpha=t[/inlmath] i [inlmath]t\to+\infty[/inlmath], čime dobijamo
[dispmath]\sin\frac{\pi}{2}=\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}[/dispmath] što smemo primeniti, jer znamo da je sinus definisana i neprekidna funkcija za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]. Ovaj limes se lako rešava skraćivanjem brojioca i imenioca sa [inlmath]t[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izrazavanje sinusa preko tangensa

Postod Frank » Petak, 27. Decembar 2019, 20:18

Ako [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] zadovoljava polaznu jednacinu, da li to znaci da je [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] jedino resenje jednacine?
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Izrazavanje sinusa preko tangensa

Postod Daniel » Subota, 28. Decembar 2019, 12:15

Ne mora da bude. Evo ti primer jednačine koja jeste zadovoljena za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath], ali je zadovoljena i za [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath]:
[dispmath](\sin x-1)(2\cos x-1)=0[/dispmath] Drugo, ako jednačina važi za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath], uopšte ne mora da znači da će važiti i za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]. Evo recimo ovde, ako uvrstiš [inlmath]k=1[/inlmath], jednačina neće biti zadovoljena za [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izrazavanje sinusa preko tangensa

Postod Frank » Četvrtak, 09. Januar 2020, 17:10

Buduci da je ovaj post usko povezan sa prethodnim nisam otvarao novu temu.
Veze izmedju [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] odnosno [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] i [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath] su sledece:
[dispmath]\sin^2\alpha=\frac{\text{tg}^2\alpha}{1+\text{tg}^2\alpha}[/dispmath][dispmath]\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\text{tg}^2\alpha}[/dispmath] Ja sam do njih dosao na sledeci nacin
[dispmath]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\hspace{5mm}/\cos^2\alpha[/dispmath][dispmath]\text{tg}^2\alpha+1=\frac{1}{\cos^2\alpha}\;\Longrightarrow\;\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\text{tg}^2\alpha},\;\alpha\ne\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath][dispmath]\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=\frac{\text{tg}^2\alpha}{1+\text{tg}^2\alpha},\;\alpha\ne\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath] Medjutim ako [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] vratimo u pocetni identitet uvericemo se da ga ispunjava (kao i za svaki drugi ugao), pa mi nije jasno kako su oba uslova istovremeno ispunjena?
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Izrazavanje sinusa preko tangensa

Postod Daniel » Četvrtak, 09. Januar 2020, 17:23

To se odmah vidi ako se [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] uvrsti u ceo postupak.
Već u prvom koraku vidimo da bismo tada imali deljenje nulom (jer je [inlmath]\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=0[/inlmath]), što nije dozvoljeno.
Zbog toga, za [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] važi isključivo prvi identitet.



BTW do veze sinusa i tangensa može se doći i na sledeći način:
[dispmath]\text{tg}^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}\;\Longrightarrow\;\sin^2\alpha=\cdots[/dispmath] Naravno, ni ovaj način nije validan za [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], jer ovde već u startu imamo u imeniocu [inlmath]\cos^2\alpha[/inlmath], koji za [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] iznosi nula, tj. imali bismo nulu u imeniocu...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 44 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 14:40 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs