Kao što rekoh, smemo. Funkcija [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] je monotono rastuća za pozitivne vrednosti [inlmath]x[/inlmath], tako da se kvadriranjem obe strane ne narušava smer znaka nejednakosti onda kada su obe strane pozitivne (ili, bolje reći, nenegativne, jer mogu biti i nula).
Ipak, od konkretnog zadatka zavisi hoće li to biti pravi put ka rešenju, ili je potrebno primeniti neki drugi način.
Vodi samo računa o sledećem:
Frank je napisao:[dispmath]|\sin x|+\frac{\sqrt2}{2}>|\cos x|\hspace{5mm}/^2[/dispmath][dispmath]\sin^2x+\cancel2\frac{\sqrt2}{\cancel2}{\color{red}\sin x}+\frac{\cancel2}{\cancel4}>\cos^2x[/dispmath]
Umesto crveno obeleženog [inlmath]\sin x[/inlmath] treba da stoji [inlmath]|\sin x|[/inlmath]. Kvadrirao si binom kod kojeg je prvi član jednak [inlmath]|\sin x|[/inlmath], a ne [inlmath]\sin x[/inlmath]. Kada, po formuli za kvadrat binoma, taj prvi član kvadriraš, on će biti [inlmath]|\sin x|^2[/inlmath], a to je isto što i [inlmath]\sin^2x[/inlmath], tako da tada ne moramo pisati apsolutne zagrade. Međutim, kada ga množiš dvojkom i drugim članom, onda nema nikakvog opravdanja za oslobađanje od apsolutnih zagrada, tako da tada moramo pisati [inlmath]2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot|\sin x|[/inlmath].
Na kraju rešavaš kvadratnu jednačinu po [inlmath]|\sin x|[/inlmath], a ne po [inlmath]\sin x[/inlmath]. Naravno, odbaciš negativno rešenje ukoliko ga eventualno dobiješ.
Frank je napisao:[dispmath]|a|+5>|b|[/dispmath] (posto smo sigurni da su obe strane pozitivne) da li smemo da napisemo kao
[dispmath]a+5>b\hspace{5mm}/^2[/dispmath]
Ista primedba – ne smeš se oslobađati apsolutnih zagrada pre kvadriranja. Nejednačina [inlmath]a+5>b[/inlmath], nakon kvadriranja, glasila bi [inlmath]a^2+10{\color{red}a}+25>b^2[/inlmath], što je pogrešno. Kvadriranjem početne nejednačine [inlmath]|a|+5>|b|[/inlmath] treba da se dobije [inlmath]a^2+10{\color{red}|a|}+25>b^2[/inlmath].
To što u zadatoj nejednačini figurišu [inlmath]|a|[/inlmath] i [inlmath]|b|[/inlmath] koji su nenegativni, ne znači da sami [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] ne mogu biti negativni – možda je to ono što tebe buni.