Stranica 1 od 1

Trigonometrijska jednačina – 14 zadatak zbirka FTN

PostPoslato: Četvrtak, 19. Mart 2020, 20:32
od miljan1403
Zanima me kako prići ovakvim zadacima koji imaju [inlmath]6x[/inlmath], [inlmath]3x[/inlmath], ili veće brojeve.
Znam da se oni mogu zapisati kao zbir, pa da se koristi formula, ali zbir koja dva broja? :kojik:
Evo primer zadatka:
[dispmath]\tan6x-3\tan3x=0[/dispmath]

Re: Trigonometrijska jednačina – 14 zadatak zbirka FTN

PostPoslato: Četvrtak, 19. Mart 2020, 21:03
od Frank
Ja bih, konkretno u ovom zadatku, [inlmath]\tan6x[/inlmath] zapisao kao [inlmath]\tan2\cdot3x[/inlmath], a potom primenio formulu za tangens dvostrukog ugla. Mozes da uvedes smenu [inlmath]t=\tan3x[/inlmath], čisto radi lakšeg snalazenja.
Vodi računa o definisanosti tangensa, kao i o nuli u imeniocu.
Sto se tice zadataka (mislim na trigonometrijske jednačine) u kojima figurisu ''veliki'' brojevi ([inlmath]3x,6x[/inlmath]) ne postoji neko univerzalno pravilo, to ti je od zadatka do zadatka... pa kako ti se zalomi. :P

Re: Trigonometrijska jednačina – 14 zadatak zbirka FTN

PostPoslato: Petak, 20. Mart 2020, 18:45
od miljan1403
Hvala uspeo sam da ga uradim. Evo rešenja za sve koji se pitaju kako se radi. :)
[dispmath]\tan2\cdot3x-3\tan3x=0[/dispmath][dispmath]\frac{2\tan3x}{1-\tan^23x}-3\tan3x=0[/dispmath] I onda ide [inlmath]\tan^23x\ne1[/inlmath] iz toga dobijamo: [inlmath]x\ne\pm\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath]
[dispmath]\tan3x=t[/dispmath][dispmath]t\left(3t^2-1\right)=0[/dispmath][dispmath]\tan3x=0\quad\lor\quad3\tan^2=1[/dispmath][dispmath]x=\frac{k\pi}{3}\quad\lor\quad x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{k\pi}{3}[/dispmath]

Re: Trigonometrijska jednačina – 14 zadatak zbirka FTN

PostPoslato: Petak, 20. Mart 2020, 20:04
od Frank
Bravo! Konstanta [inlmath]\pi[/inlmath] se piše kao \pi u okviru odgovarajucih tragova.
Neophodno je da proveris da li mozda [inlmath]\tan^2x=1[/inlmath] odgovara polaznoj jednačini (neposrednim uvrštavanjem vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje je [inlmath]\tan^2x=1[/inlmath] u početni oblik) jer u onom obliku jednačine koji je dat u zadatku nigde nemas imenilac.

Re: Trigonometrijska jednačina – 14 zadatak zbirka FTN

PostPoslato: Nedelja, 22. Mart 2020, 04:18
od Daniel
Frank je napisao:Konstanta [inlmath]\pi[/inlmath] se piše kao \pi u okviru odgovarajucih tragova.

Korigovao sam.

Frank je napisao:Neophodno je da proveris da li mozda [inlmath]\tan^2x=1[/inlmath] odgovara polaznoj jednačini (neposrednim uvrštavanjem vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje je [inlmath]\tan^2x=1[/inlmath] u početni oblik) jer u onom obliku jednačine koji je dat u zadatku nigde nemas imenilac.

Verovatno si hteo reći [inlmath]\tan^23x=1[/inlmath]? Nema potrebe proveravati, jer ako je [inlmath]\tan^23x=1[/inlmath] tada izraz [inlmath]\frac{2\tan3x}{1-\tan^23x}[/inlmath] nije definisan, a pošto su izrazi [inlmath]\frac{2\tan3x}{1-\tan^23x}[/inlmath] i [inlmath]\tan2\cdot3x[/inlmath] identički jednaki, to znači da kad nije definisan jedan tada nije definisan ni drugi. To jest, za [inlmath]\tan^23x=1[/inlmath] ne bi bila definisana ni početna jednačina.

miljan1403 je napisao:I onda ide [inlmath]\tan^23x\ne1[/inlmath] iz toga dobijamo: [inlmath]x\ne\pm\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath]

Jedino je možda bilo bolje da su uslovi postavljeni u samom startu, tj. [inlmath]2\cdot3x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] i [inlmath]3x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]. Uz ove uslove, i imenilac razlomka biće različit od nule.
I, iz [inlmath]\tan^23x\ne1[/inlmath] sledi [inlmath]x\ne\pm\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{\color{red}3}[/inlmath], pretpostavljam da je greška u kucanju.

Re: Trigonometrijska jednačina – 14 zadatak zbirka FTN

PostPoslato: Nedelja, 22. Mart 2020, 10:06
od Frank
Daniel je napisao:Verovatno si hteo reći [inlmath]\tan^2 3x=1[/inlmath]?

Da.

Re: Trigonometrijska jednačina – 14 zadatak zbirka FTN

PostPoslato: Utorak, 14. April 2020, 21:11
od Frank
Daniel je napisao:Nema potrebe proveravati, jer ako je [inlmath]\tan^23x=1[/inlmath] tada izraz [inlmath]\frac{2\tan3x}{1-\tan^23x}[/inlmath] nije definisan, a pošto su izrazi [inlmath]\frac{2\tan3x}{1-\tan^23x}[/inlmath] i [inlmath]\tan2\cdot3x[/inlmath] identički jednaki, to znači da kad nije definisan jedan tada nije definisan ni drugi. To jest, za [inlmath]\tan^23x=1[/inlmath] ne bi bila definisana ni početna jednačina.

A zašto proveravamo da [inlmath]x[/inlmath] nije mozda [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] kada [inlmath]\sin x[/inlmath] napišemo kao [inlmath]\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}?[/inlmath]. Naravno da tangens za [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] nije definisan, ali ova dva izraza su identički jednaki, pa ako gledam analogiju sa primerom iz ove teme...

Re: Trigonometrijska jednačina – 14 zadatak zbirka FTN

PostPoslato: Sreda, 15. April 2020, 10:40
od Daniel
Bilo bi zapravo najispravnije reći da je [inlmath]\sin x[/inlmath] identički jednak izrazu [inlmath]\displaystyle\frac{2\text{ tg }\frac{x}{2}}{1+\text{tg}^2\frac{x}{2}}[/inlmath] za [inlmath]x\ne\pi+2k\pi[/inlmath].
Za [inlmath]x=\pi+2k\pi[/inlmath] ovaj identitet ne važi, jer tada prvi izraz jeste definisan a drugi nije.