Prvi probni prijemni ispit FON (prva grupa) – 13. jun 2020.
20. zadatak
Broj svih resenja jednacine [inlmath]\sin x-\sin3x=\cos4x-\cos2x[/inlmath] na odsecku [inlmath][0,2\pi][/inlmath] jednak je:
Tacan odgovor je: [inlmath]E)\;8[/inlmath]
To je jednako:
[dispmath]-(\sin3x-\sin x)=\cos4x-\cos2x[/dispmath] Primenimo pravilo za transformaciju razlike u proizvod sa obe strane jednacine:
[dispmath]-2\cos2x\sin x=-2\sin3x\sin x\\
\cos2x\sin x-\sin3x\sin x=0\\
\sin x(\cos2x-\sin3x)=0[/dispmath] Tu je prvo resenje [inlmath]\sin x=0[/inlmath]
Dalje se nastavlja:
[dispmath]\cos2x-\sin3x=0\\
\cos^2x-\sin^2x-3\sin x+4\sin^3x\\
4\sin^3x-2\sin^2x-3\sin x+1=0[/dispmath] Uvedemo smenu [inlmath]t=\sin x[/inlmath]
[dispmath]4t^3-2t^2-3t+1=0[/dispmath] Pogodimo drugo resenje a to je [inlmath]t=1[/inlmath] a potom podelimo jednacinu sa [inlmath]t-1[/inlmath]
Dobija se:
[dispmath]4t^2+2t-1=0[/dispmath] Nakon resavanja kvadratne jednacine resenja su:
[dispmath]t=\frac{-1+\sqrt5}{4}\quad\text{i}\quad t=\frac{-1-\sqrt5}{4}[/dispmath] Moje pitanje je: Nakon uvrstavanja prva [inlmath]2[/inlmath] resenja u interval dobije se ukupno [inlmath]4[/inlmath] resenja, dok druga dva resenja ne mogu da pretvorim u radijane a samim tim ne mogu da ih uvrstim u interval. Gde gresim?