Stranica 1 od 1

Na osnovu odnosa sinusa uglova odrediti odnos kosinusa istih

PostPoslato: Subota, 21. Novembar 2020, 18:22
od Frank
Pozdrav! Zadatak glasi:
Neka su [inlmath]x,y,z[/inlmath] realni brojevi takvi da je [inlmath]x+y+z=\pi[/inlmath] i [inlmath]\sin x:\sin y:\sin z=4:5:6[/inlmath]. Odrediti [inlmath]\cos x:\cos y:\cos z[/inlmath].
Rešenje: [inlmath]\cos x:\cos y:\cos z=12:9:2[/inlmath]

Iako sam poprilično vremena potrošio razmišljajući kako da rešim zadatak, nisam ni mrdnuo s početka. Jedino što mi je palo na pamet je to da primenim osobinu produžene proporcije tj.
[dispmath]\sin x:\sin y:\sin z=4:5:6\;\Longrightarrow\;\frac{\sin x}{4}=\frac{\sin y}{5}=\frac{\sin z}{6}=k\;\Longrightarrow\;\sin x=4k,\;\sin y=5k,\;\sin y=6k[/dispmath] Potom sam pokšao da sinusujem (nakon prebacivanja [inlmath]z[/inlmath]-a na desnu stranu) jednakost [inlmath]x+y+z=\pi[/inlmath]. Medjutim, sve ovo je mrka kapa, tj. ne nazire se ništa što bi me bar malo približilo rešenju zadatka.
Da li bi neko mogao da mi da smernicu kako da rešim zadatak? Hvala! :)

Re: Na osnovu odnosa sinusa uglova odrediti odnos kosinusa istih

PostPoslato: Subota, 21. Novembar 2020, 22:31
od Daniel
Frank je napisao:Neka su [inlmath]x,y,z[/inlmath] realni brojevi takvi da je [inlmath]x+y+z=\pi[/inlmath]

Ovaj podatak ti govori da su to uglovi trougla. A čim su to uglovi trougla, možeš započeti korišćenjem sinusne teoreme...

Re: Na osnovu odnosa sinusa uglova odrediti odnos kosinusa istih

PostPoslato: Subota, 21. Novembar 2020, 23:07
od Frank
U tekstu zadatka nije naglašeno da su [inlmath]x, y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] pozitivni brojevi, pa samim tim, ako se ne varam, ne moraju biti uglovi trougla?

Re: Na osnovu odnosa sinusa uglova odrediti odnos kosinusa istih

PostPoslato: Nedelja, 22. Novembar 2020, 00:21
od Daniel
Da, taj deo mi je promakao, ali to ne menja stvari mnogo. Iz [inlmath]\sin x:\sin y:\sin z=4:5:6[/inlmath] vidi se da sva tri sinusa moraju biti istog znaka, što znači da se ili sva tri ugla moraju nalaziti na gornjoj polovini trigonometrijske kružnice, ili sva tri u donjoj polovini kružnice.
Ukoliko su sva tri u gornjoj polovini kružnice, samim tim moraju sva tri biti u intervalima [inlmath](2k\pi,\pi+2k\pi)[/inlmath], ali pošto ne posmatramo same uglove već njihove sinuse i kosinuse, situacija je ekvivalentna onoj u kojoj su sva tri ugla u intervalu [inlmath](0,\pi)[/inlmath].
U slučaju da su sva tri sinusa negativna, tj. da su sva tri ugla u donjoj polovini kružnice, vrednosti njihovih kosinusa (koje ovde i tražimo) neće se promeniti ako umesto tih uglova posmatramo njihove apsolutne vrednosti, čime situaciju opet svodimo na uglove iz intervala [inlmath](0,\pi)[/inlmath].