Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijski identiteti, formule, transformacije...

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Moderator: Corba248

Trigonometrijski identiteti, formule, transformacije...

Postod Daniel » Četvrtak, 17. Januar 2013, 08:06

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA:

pravougli trougao.png
pravougli trougao.png (568 Bajta) Pogledano 31779 puta

[inlmath]\sin\alpha=\frac{a}{c}[/inlmath] – sinus – odnos naspramne katete i hipotenuze
[inlmath]\cos\alpha=\frac{b}{c}[/inlmath] – kosinus – odnos nalegle katete i hipotenuze
[inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{a}{b}[/inlmath] – tangens – odnos naspramne i nalegle katete
[inlmath]\mathrm{ctg}\:\alpha=\frac{b}{a}\quad\left(=\frac{1}{\mathrm{tg}\:\alpha}\right)[/inlmath] – kotangens – odnos nalegle i naspramne katete
[inlmath]\sec\alpha=\frac{c}{b}\quad\left(=\frac{1}{\cos\alpha}\right)[/inlmath] – sekans – odnos hipotenuze i nalegle katete
[inlmath]\csc\alpha=\frac{c}{a}\quad\left(=\frac{1}{\sin\alpha}\right)[/inlmath] – kosekans – odnos hipotenuze i naspramne katete


UGLOVI I KVADRANTI NA TRIGONOMETRIJSKOJ KRUŽNICI:

uglovi i kvadranti.png
uglovi i kvadranti.png (873 Bajta) Pogledano 29263 puta

[inlmath]\alpha\in\left(2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\quad\Rightarrow\quad\alpha[/inlmath] pripada [inlmath]I[/inlmath] kvadrantu
[inlmath]\alpha\in\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\quad\Rightarrow\quad\alpha[/inlmath] pripada [inlmath]II[/inlmath] kvadrantu
[inlmath]\alpha\in\left(\pi+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right)\quad\Rightarrow\quad\alpha[/inlmath] pripada [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu
[inlmath]\alpha\in\left(\frac{3\pi}{2}+2k\pi,2\pi+2k\pi\right)\quad\Rightarrow\quad\alpha[/inlmath] pripada [inlmath]IV[/inlmath] kvadrantu


VREDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA KARAKTERISTIČNIH UGLOVA:

[dispmath]\alpha[/dispmath][dispmath]0[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{6}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{3}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{2}[/dispmath]
[dispmath]\sin\alpha[/dispmath][dispmath]0[/dispmath][dispmath]\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\;\;\frac{\sqrt 2}{2}\;\;[/dispmath][dispmath]\;\;\frac{\sqrt 3}{2}\;\;[/dispmath][dispmath]1[/dispmath]
[dispmath]\cos\alpha[/dispmath][dispmath]1[/dispmath][dispmath]\;\;\frac{\sqrt 3}{2}\;\;[/dispmath][dispmath]\frac{\sqrt 2}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]0[/dispmath]
[dispmath]\mathrm{tg}\:\alpha[/dispmath][dispmath]0[/dispmath][dispmath]\frac{\sqrt 3}{3}[/dispmath][dispmath]1[/dispmath][dispmath]\sqrt 3[/dispmath][dispmath]\;\;\infty\;\;[/dispmath]
[dispmath]\;\;\mathrm{ctg}\:\alpha\;\;[/dispmath][dispmath]\;\;\infty\;\;[/dispmath][dispmath]\sqrt 3[/dispmath][dispmath]1[/dispmath][dispmath]\frac{\sqrt 3}{3}[/dispmath][dispmath]0[/dispmath]


SVOĐENJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA BILO KOG UGLA NA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA:
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\frac{\pi}{2}-\alpha & \frac{\pi}{2}+\alpha & \pi-\alpha & -\alpha\\ \hline
\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha & \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha & \sin\left(\pi-\alpha\right)=\sin\alpha & \sin\left(-\alpha\right)=-\sin\alpha\\ \hline
\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha & \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha & \cos\left(\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha & \cos\left(-\alpha\right)=\cos\alpha\\ \hline
\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{ctg}\:\alpha & \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\:\alpha & \mathrm{tg}\left(\pi-\alpha\right)=-\mathrm{tg}\:\alpha & \mathrm{tg}\left(-\alpha\right)=-\mathrm{tg}\:\alpha\\ \hline
\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{tg}\:\alpha & \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{tg}\:\alpha & \mathrm{ctg}\left(\pi-\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\:\alpha & \mathrm{ctg}\left(-\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\:\alpha\\ \hline
\end{array}[/dispmath][dispmath]\begin{array}{|c|c|c|}\hline
-\frac{\pi}{2}+\alpha & -\frac{\pi}{2}-\alpha & -\pi+\alpha\\ \hline
\sin\left(-\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha & \sin\left(-\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha & \sin\left(-\pi+\alpha\right)=-\sin\alpha\\ \hline
\cos\left(-\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha & \cos\left(-\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin\alpha & \cos\left(-\pi+\alpha\right)=-\cos\alpha\\ \hline
\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\:\alpha & \mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{ctg}\:\alpha & \mathrm{tg}\left(-\pi+\alpha\right)=\mathrm{tg}\:\alpha\\ \hline
\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{tg}\:\alpha & \mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{tg}\:\alpha & \mathrm{ctg}\left(-\pi+\alpha\right)=\mathrm{ctg}\:\alpha\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
OSOBINE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA:

[inlmath]-1\le\sin\alpha\le 1[/inlmath] – ograničenost sinusa
[inlmath]-1\le\cos\alpha\le 1[/inlmath] – ograničenost kosinusa

[inlmath]\sin\left(-\alpha\right)=-\sin\alpha[/inlmath] – neparnost sinusa
[inlmath]\cos\left(-\alpha\right)=\cos\alpha[/inlmath] – parnost kosinusa
[inlmath]\mathrm{tg}\left(-\alpha\right)=-\mathrm{tg}\:\alpha[/inlmath] – neparnost tangensa
[inlmath]\mathrm{ctg}\left(-\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\:\alpha[/inlmath] – neparnost kotangensa

[inlmath]\sin\alpha=\sin\left(\alpha+2k\pi\right),\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath] – periodičnost sinusa s periodom [inlmath]2\pi[/inlmath]
[inlmath]\cos\alpha=\cos\left(\alpha+2k\pi\right),\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath] – periodičnost kosinusa s periodom [inlmath]2\pi[/inlmath]
[inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\mathrm{tg}\left(\alpha+k\pi\right),\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath] – periodičnost tangensa s periodom [inlmath]\pi[/inlmath]
[inlmath]\mathrm{ctg}\:\alpha=\mathrm{ctg}\left(\alpha+k\pi\right),\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath] – periodičnost kotangensa s periodom [inlmath]\pi[/inlmath]


OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI:

Veza sinusa i kosinusa:
[dispmath]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/dispmath]
Veza sinusa i tangensa:
[dispmath]\sin^2\alpha=\frac{\mathrm{tg}^2\alpha}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}[/dispmath]
Veza kosinusa i tangensa:
[dispmath]\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}[/dispmath]
ADICIONE FORMULE:

Adiciona formula za sinus:
[dispmath]\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta[/dispmath]
Adiciona formula za kosinus:
[dispmath]\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta[/dispmath]
Adiciona formula za tangens:
[dispmath]\mathrm{tg}\left(\alpha\pm\beta\right)=\frac{\mathrm{tg}\alpha\pm\mathrm{tg}\beta}{1\mp\mathrm{tg}\alpha\:\mathrm{tg}\beta}[/dispmath]
Adiciona formula za kotangens:
[dispmath]\mathrm{ctg}\left(\alpha\pm\beta\right)=\frac{\mathrm{ctg}\alpha\:\mathrm{ctg}\beta\mp 1}{\mathrm{ctg}\beta\pm\mathrm{ctg}\alpha}[/dispmath]
TRIGONOMETRIJSKE FORMULE DVOSTRUKOG UGLA:
[dispmath]\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha[/dispmath][dispmath]\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:2\alpha=\frac{2\:\mathrm{tg}\:\alpha}{1-\mathrm{tg}^2\alpha}[/dispmath][dispmath]\mathrm{ctg}\:2\alpha=\frac{\mathrm{ctg}^2\alpha-1}{2\:\mathrm{ctg}\:\alpha}[/dispmath]
TRIGONOMETRIJSKE FORMULE POLOVINE UGLA:
[dispmath]\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}[/dispmath][dispmath]\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}[/dispmath][dispmath]\mathrm{ctg}^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}[/dispmath]
TRANSFORMACIJA ZBIRA I RAZLIKE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA U PROIZVOD:
[dispmath]\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}[/dispmath][dispmath]\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}[/dispmath][dispmath]\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}[/dispmath][dispmath]\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}[/dispmath]
TRANSFORMACIJA PROIZVODA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA U ZBIR I RAZLIKU:
[dispmath]\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right][/dispmath][dispmath]\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left[\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right][/dispmath][dispmath]\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right][/dispmath][dispmath]\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left[\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right][/dispmath]
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA:

SINUSNA TEOREMA:
[dispmath]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R[/dispmath]
KOSINUSNA TEOREMA:
[dispmath]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\\
b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\\
c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma[/dispmath]
[inlmath]a,b,c[/inlmath] – stranice trougla
[inlmath]\alpha,\beta,\gamma[/inlmath] – uglovi naspram stranica [inlmath]a,b,c[/inlmath], respektivno
[inlmath]R[/inlmath] – poluprečnik kružnice opisane oko trougla


OČITAVANJE VREDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA SA TRIGONOMETRIJSKE KRUŽNICE:

trigonometrijska kruznica.png
trigonometrijska kruznica.png (2.96 KiB) Pogledano 31790 puta


OČITAVANJE PREDZNAKA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA SA TRIGONOMETRIJSKE KRUŽNICE:

predznaci.png
predznaci.png (2.41 KiB) Pogledano 31022 puta


GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA:

trigonometrijske funkcije.png
trigonometrijske funkcije.png (11.31 KiB) Pogledano 31790 puta
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7760
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4080 puta
Pohvaljen: 4133 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Trigonometrijski identiteti, formule, transformacije...

Postod Daniel » Petak, 29. Novembar 2013, 20:25

INVERZNE TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE:

[inlmath]\sin\left(\arcsin x\right)=x,\quad -1\le x\le 1[/inlmath]
[inlmath]\cos\left(\arccos x\right)=x,\quad -1\le x\le 1[/inlmath]
[inlmath]\mathrm{tg}\left(\mathrm{arctg}\:x\right)=x[/inlmath]
[inlmath]\mathrm{ctg}\left(\mathrm{arcctg}\:x\right)=x[/inlmath]

[inlmath]\arcsin\left(\sin x\right)=x\quad[/inlmath] samo za [inlmath]\quad-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}[/inlmath]
[inlmath]\arccos\left(\cos x\right)=x\quad[/inlmath] samo za [inlmath]\quad0\le x\le\pi[/inlmath]
[inlmath]\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\:x\right)=x\quad[/inlmath] samo za [inlmath]\quad-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}[/inlmath]
[inlmath]\mathrm{arcctg}\left(\mathrm{ctg}\:x\right)=x\quad[/inlmath] samo za [inlmath]\quad0\le x\le\pi[/inlmath]


OSOBINE INVERZNIH TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA:

[inlmath]-\frac{\pi}{2}\le\arcsin x\le\frac{\pi}{2}[/inlmath] – ograničenost arkus sinusa
[inlmath]0\le\arccos x\le\pi[/inlmath] – ograničenost arkus kosinusa
[inlmath]-\frac{\pi}{2}<\mathrm{arctg}\:x<\frac{\pi}{2}[/inlmath] – ograničenost arkus tangensa
[inlmath]0<\mathrm{arcctg}\:x<\pi[/inlmath] – ograničenost arkus kotangensa

[inlmath]\arcsin\left(-x\right)=-\arcsin x[/inlmath] – neparnost arkus sinusa
[inlmath]\mathrm{arctg}\left(-x\right)=-\:\mathrm{arctg}\:x[/inlmath] – neparnost arkus tangensa


VREDNOSTI INVERZNIH TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA ZA NEKE KARAKTERISTIČNE VREDNOSTI ARGUMENTA:

[dispmath]x[/dispmath][dispmath]\;\;-\sqrt 3\;\;[/dispmath][dispmath]-1[/dispmath][dispmath]\;\;-\frac{\sqrt 3}{2}\;\;[/dispmath][dispmath]\;\;-\frac{\sqrt 2}{2}\;\;[/dispmath][dispmath]\;\;-\frac{\sqrt 3}{3}\;\;[/dispmath][dispmath]\;\;-\frac{1}{2}\;\;[/dispmath][dispmath]\;\;\;0\;\;\;[/dispmath][dispmath]\;\;\frac{1}{2}\;\;[/dispmath][dispmath]\;\;\frac{\sqrt 3}{3}\;\;[/dispmath][dispmath]\;\;\frac{\sqrt 2}{2}\;\;[/dispmath][dispmath]\;\;\frac{\sqrt 3}{2}\;\;[/dispmath][dispmath]1[/dispmath][dispmath]\;\;\sqrt 3\;\;[/dispmath]
[dispmath]\arcsin x[/dispmath][dispmath]\;\;-\frac{\pi}{2}\;\;[/dispmath][dispmath]-\frac{\pi}{3}[/dispmath][dispmath]-\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]-\frac{\pi}{6}[/dispmath][dispmath]0[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{6}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{3}[/dispmath][dispmath]\;\;\frac{\pi}{2}\;\;[/dispmath]
[dispmath]\;\;\arccos x\;\;[/dispmath][dispmath]\pi[/dispmath][dispmath]\frac{5\pi}{6}[/dispmath][dispmath]\frac{3\pi}{4}[/dispmath][dispmath]\frac{2\pi}{3}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{3}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{6}[/dispmath][dispmath]0[/dispmath]
[dispmath]\mathrm{arctg}\:x[/dispmath][dispmath]-\frac{\pi}{3}[/dispmath][dispmath]-\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]-\frac{\pi}{6}[/dispmath][dispmath]0[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{6}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{3}[/dispmath]
[dispmath]\mathrm{arcctg}\:x[/dispmath][dispmath]\frac{5\pi}{6}[/dispmath][dispmath]\frac{3\pi}{4}[/dispmath][dispmath]\frac{2\pi}{3}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{3}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{6}[/dispmath]


GRAFICI INVERZNIH TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA:

inverzne trigonometrijske funkcije.png
inverzne trigonometrijske funkcije.png (7.28 KiB) Pogledano 31772 puta
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7760
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4080 puta
Pohvaljen: 4133 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 8 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 20. Novembar 2019, 18:50 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs