Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Izvodjenje trigonometrijskih formula

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Moderator: Corba248

Izvodjenje trigonometrijskih formula

Postod Dragana_Vidric » Utorak, 22. April 2014, 13:55

Pozdrav! Zna li neko da izvede sve trigonometrijske formule? Ne mogu ih sve uciti napamet, nikako... :D :D
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Izvodjenje trigonometrijskih formula

Postod Daniel » Utorak, 22. April 2014, 15:51

Pozdrav! Imao sam baš na umu da napišem jednu temu upravo s tim izvođenjem, tako da je ovo sad dobro došlo. :)

Ni ja ne pamtim sve trigonometrijske formule, neke od njih su baš glomazne, kao, recimo, one za transformaciju zbira u proizvod i obratno, ali zato ih je moguće, ako znaš princip, izvesti za pola minuta. :)

Ovde se nalazi spisak svih formula potrebnih za trigonometrijski račun (ako sam neku izostavio, mada mislim da nisam, slobodno javite, pa ću dopuniti). A u ovoj temi ću za većinu njih pokazati i izvođenje.



Veza sinusa i kosinusa:

[inlmath]a,b[/inlmath] – katete; [inlmath]c[/inlmath] – hipotenuza
[dispmath]\sin\alpha=\frac{b}{c},\quad\cos\alpha=\frac{a}{c}\quad\Rightarrow\quad\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{b^2}{c^2}+\frac{a^2}{c^2}=\frac{\overbrace{a^2+b^2}^{c^2}}{c^2}=\frac{\cancel{c^2}}{\cancel{c^2}}=1[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\enclose{box}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}[/dispmath]


Veza (ko)sinusa i tangensa:
[dispmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\quad\Rightarrow\quad\mathrm{tg}^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}\quad\Rightarrow\quad\mathrm{tg}^2\alpha\left(1-\sin^2\alpha\right)=\sin^2\alpha\quad\Rightarrow[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\mathrm{tg}^2\alpha-\mathrm{tg}^2\alpha\sin^2\alpha=\sin^2\alpha\quad\Rightarrow\quad\mathrm{tg}^2\alpha=\mathrm{tg}^2\alpha\sin^2\alpha+\sin^2\alpha\quad\Rightarrow[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\mathrm{tg}^2\alpha=\sin^2\alpha\left(1+\mathrm{tg}^2\alpha\right)\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\sin^2\alpha=\frac{\mathrm{tg}^2\alpha}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}}[/dispmath]
[dispmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\quad\Rightarrow\quad\mathrm{tg}^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}\quad\Rightarrow\quad\mathrm{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}-1\quad\Rightarrow[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\mathrm{tg}^2\alpha\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}}[/dispmath]
Takođe, iz jedne od ove dve formule možemo jednostavno dobiti drugu:
[dispmath]\sin^2\alpha=\frac{\mathrm{tg}^2\alpha}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}\quad\Rightarrow\quad\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\cos^2\alpha=\frac{\mathrm{tg}^2\alpha}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}\quad\Rightarrow[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\cancel{\mathrm{tg}^2\alpha}\cos^2\alpha=\frac{\cancel{\mathrm{tg}^2\alpha}}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}\quad\Rightarrow\quad\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}[/dispmath]
[dispmath]\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}\quad\Rightarrow\quad\mathrm{tg}^2\alpha\cos^2\alpha=\frac{\mathrm{tg}^2\alpha}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}\quad\Rightarrow[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\frac{\sin^2\alpha}{\cancel{\cos^2\alpha}}\cancel{\cos^2\alpha}=\frac{\mathrm{tg}^2\alpha}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}\quad\Rightarrow\quad\sin^2\alpha=\frac{\mathrm{tg}^2\alpha}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}[/dispmath]
Toliko zasad... Biće, naravno, nastavak... ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7760
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4080 puta
Pohvaljen: 4133 puta

Re: Izvodjenje trigonometrijskih formula

Postod Dragana_Vidric » Utorak, 22. April 2014, 16:14

Hvala puno!!! :) :)
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Izvodjenje adicionih formula

Postod ubavic » Četvrtak, 24. April 2014, 18:40

A evo i dokaza adicionih formula.

Sinus i kosinus zbira uglova:

Nacrtajmo poluprave sa početkom u tački [inlmath]O[/inlmath] kroz proizvoljne tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Obeležimo ugao [inlmath]AOB[/inlmath] sa [inlmath]\alpha[/inlmath] i ugao [inlmath]BOC[/inlmath] sa [inlmath]\beta[/inlmath]. Uzmimo proizvoljnu tačku [inlmath]P[/inlmath] na polupravoj [inlmath]OC[/inlmath], i spustimo normale iz tačke [inlmath]P[/inlmath] na polupravu [inlmath]OA[/inlmath] i [inlmath]OB[/inlmath], dobijajući tako tačke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath]. Iz tačke [inlmath]N[/inlmath] povucimo normalu na polupravu [inlmath]OA[/inlmath] i na duž [inlmath]PM[/inlmath]. To bi trebalo da izgleda ovako nekako:

adicione formule1.png
adicione formule1.png (2.07 KiB) Pogledano 5367 puta

Pošto je [inlmath]PR\perp OA[/inlmath] i [inlmath]PN\perp OB[/inlmath], uglovi [inlmath]\angle RPN[/inlmath] i [inlmath]\alpha[/inlmath] su jednaki.

[dispmath]\sin(\alpha+\beta)=\sin\angle AOP=\frac{MP}{OP}=\frac{MR+RP}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\frac{QN}{OP}+\frac{RP}{OP}=\frac{QN}{ON}\cdot\frac{ON}{OP}+\frac{RP}{NP}\cdot\frac{NP}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/dispmath]

[dispmath]\cos(\alpha+\beta)=\cos\angle AOP=\frac{OM}{OP}=\frac{OQ-MQ}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\frac{OQ}{OP}-\frac{RN}{OP}=\frac{OQ}{ON}\cdot\frac{ON}{OP}-\frac{RN}{NP}\cdot\frac{NP}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta[/dispmath]


Sinus i kosinus razlike uglova:

Nacrtajmo poluprave sa početkom u tački [inlmath]O[/inlmath], kroz proizvoljne tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Obeležimo ugao [inlmath]AOB[/inlmath] sa [inlmath]\alpha[/inlmath] i ugao [inlmath]COB[/inlmath] sa [inlmath]\beta[/inlmath]. Uzmimo proizvoljnu tačku [inlmath]P[/inlmath] na polupravoj [inlmath]OC[/inlmath], i iz nje povucimo normale na poluprave [inlmath]OA[/inlmath] i [inlmath]OB[/inlmath], dobijajući tako tačke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath]. Iz tačke [inlmath]N[/inlmath] spustimo normalu na polupravu [inlmath]OA[/inlmath], dobijajući tačku [inlmath]Q[/inlmath]. Paralelno sa polupravom [inlmath]OA[/inlmath] iz tačke [inlmath]N[/inlmath] nacrtajmo pravu, i presecimo je sa produžetkom duži [inlmath]PM[/inlmath], konstruišući tačku [inlmath]R[/inlmath]. Kako su [inlmath]RM\bot OA[/inlmath] i [inlmath]PN\bot OB[/inlmath], zaključujemo da [inlmath]\angle RPN=\alpha[/inlmath]. Konstrukcija je prikazana na slici:

adicione formule2.png
adicione formule2.png (2.13 KiB) Pogledano 5367 puta

[dispmath]\sin(\alpha-\beta)=\sin\angle AOC=\frac{MP}{OP}=\frac{MR-RP}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\frac{QN}{OP}-\frac{RP}{OP}=\frac{QN}{ON}\cdot\frac{ON}{OP}-\frac{RP}{PN}\cdot\frac{PN}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta[/dispmath]
[dispmath]\cos(\alpha-\beta)=\cos\angle AOC=\frac{OM}{OP}=\frac{OQ+MQ}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\frac{OQ}{OP}+\frac{NR}{OP}=\frac{OQ}{ON}\cdot\frac{ON}{OP}+\frac{NR}{NP}\cdot\frac{NP}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta[/dispmath]
Dokaz adicionih formula za tangens i kotangens možete pogledati na temi "Trigonometrijske formule – izvođenje pomoću adicionih".



Formule za tangens i kotangens zbira i razlike se dalje izvode lako:
[dispmath]\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)}=\frac{\sin x\cos y+\cos x\sin y}{\cos x\cos y-\sin x\sin y}[/dispmath]
Podelimo brojilac i imenilac sa [inlmath]\cos x\cos y[/inlmath]:
[dispmath]\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\mathrm{tg}\:x+\mathrm{tg}\:y}{1-\mathrm{tg}\:x\mathrm{tg}\:y}[/dispmath]
Slično za razliku:
[dispmath]\mathrm{tg}(x-y)=\frac{\sin (x-y)}{\cos (x-y)}=\frac{\sin x\cos y-\cos x\sin y}{\cos x\cos y+\sin x\sin y}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}(x-y)=\frac{\mathrm{tg}\:x-\mathrm{tg}\:y}{1+\mathrm{tg}\:x\mathrm{tg}\:y}[/dispmath]
Kotangens zbira i razlike:
[dispmath]\mathrm{ctg}(x+y)=\frac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=\frac{\cos x\cos y-\sin x\sin y}{\sin x\cos y+\cos x\sin y}[/dispmath]
Podelimo brojilac i imenilac sa [inlmath]\sin x\sin y[/inlmath]:
[dispmath]\mathrm{ctg}(x+y)=\frac{\mathrm{ctg}\:x\mathrm{ctg}\:y-1}{\mathrm{ctg}\:y+\mathrm{ctg}\:x}[/dispmath]
Slično za razliku:
[dispmath]\mathrm{ctg}(x-y)=\frac{\cos (x-y)}{\sin (x-y)}=\frac{\cos x\cos y+\sin x\sin y}{\sin x\cos y-\cos x\sin y}[/dispmath][dispmath]\mathrm{ctg}(x-y)=\frac{\mathrm{ctg}\:x\mathrm{ctg}\:y+1}{\mathrm{ctg}\:y-\mathrm{ctg}\:x}[/dispmath]
Korisnikov avatar
ubavic   ONLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 532
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 521 puta

  • +1

Re: Izvodjenje trigonometrijskih formula

Postod Daniel » Utorak, 29. April 2014, 09:45

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla:
(izvode se iz adicionih formula)
[dispmath]\sin 2x=\sin\left(x+x\right)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\sin 2x=2\sin x\cos x}[/dispmath][dispmath]\cos 2x=\cos\left(x+x\right)=\cos x\cos x-\sin x\sin x=\cos^2x\sin^2x\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}\cdot\frac{\frac{1}{\cos^2x}}{\frac{1}{\cos^2x}}=\frac{2\frac{\sin x}{\cos x}}{1-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1-\mathrm{tg}^2x}\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\mathrm{tg}\:2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1-\mathrm{tg}^2x}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{ctg}\:2x=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{2\sin x\cos x}\cdot\frac{\frac{1}{\sin^2x}}{\frac{1}{\sin^2x}}=\frac{\frac{\cos^2x}{\sin^2x}-1}{2\frac{\cos x}{\sin x}}=\frac{\mathrm{ctg}^2x-1}{2\mathrm{ctg}\:x}\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\mathrm{ctg}\:2x=\frac{\mathrm{ctg}^2x-1}{2\mathrm{ctg}\:x}}[/dispmath]
Trigonometrijske funkcije polovine ugla:
(izvode se iz formule za vezu sinusa i kosinusa i iz formule za kosinus dvostrukog ugla)
[dispmath]\begin{array}{ll}
\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}=1\quad & \left(1\right)\\ \\
\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x\quad & \left(2\right)\\ \hline
\end{array}[/dispmath][dispmath]\left(1\right)-\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad 2\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos x\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}}\quad\left(3\right)[/dispmath][dispmath]\left(1\right)+\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad 2\cos^2\frac{x}{2}=1+\cos x\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}}\quad\left(4\right)[/dispmath][dispmath]\frac{\left(3\right)}{\left(4\right)}\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\mathrm{tg}^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}[/dispmath][dispmath]\frac{\left(4\right)}{\left(3\right)}\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\mathrm{ctg}^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}[/dispmath]
Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod i obratno:
(izvode se iz adicionih formula)
[dispmath]\begin{array}{ll}
\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\quad & \left(1\right)\\ \\
\sin\left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y\quad & \left(2\right)\\ \\
\cos\left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\quad & \left(3\right)\\ \\
\cos\left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\quad & \left(4\right)\\ \hline
\end{array}[/dispmath][dispmath]\left(1\right)+\left(2\right)\;\Rightarrow\;\sin\left(x+y\right)+\sin\left(x-y\right)=2\sin x\cos y\;\Rightarrow\;\enclose{box}{\sin x\cos y=\frac{1}{2}\left[\sin\left(x+y\right)+\sin\left(x-y\right)\right]}\quad\left(5\right)[/dispmath][dispmath]\left(1\right)-\left(2\right)\;\Rightarrow\;\sin\left(x+y\right)-\sin\left(x-y\right)=2\cos x\sin y\;\Rightarrow\;\enclose{box}{\cos x\sin y=\frac{1}{2}\left[\sin\left(x+y\right)-\sin\left(x-y\right)\right]}\quad\left(6\right)[/dispmath][dispmath]\left(3\right)+\left(4\right)\;\Rightarrow\;\cos\left(x+y\right)+\cos\left(x-y\right)=2\cos x\cos y\;\Rightarrow\;\enclose{box}{\cos x\cos y=\frac{1}{2}\left[\cos\left(x+y\right)+\cos\left(x-y\right)\right]}\quad\left(7\right)[/dispmath][dispmath]\left(3\right)-\left(4\right)\;\Rightarrow\;\cos\left(x+y\right)-\cos\left(x-y\right)=-2\sin x\sin y\;\Rightarrow\;\enclose{box}{\sin x\sin y=-\frac{1}{2}\left[\cos\left(x+y\right)-\cos\left(x-y\right)\right]}\quad\left(8\right)[/dispmath][dispmath]x+y=\alpha,\;x-y=\beta\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\alpha+\beta}{2},\;y=\frac{\alpha-\beta}{2}:[/dispmath][dispmath]\left(5\right)\quad\Rightarrow\quad\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{1}{2}\left(\sin\alpha+\sin\beta\right)\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}[/dispmath][dispmath]\left(6\right)\quad\Rightarrow\quad\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{1}{2}\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}[/dispmath][dispmath]\left(7\right)\quad\Rightarrow\quad\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{1}{2}\left(\cos\alpha+\cos\beta\right)\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}[/dispmath][dispmath]\left(8\right)\quad\Rightarrow\quad\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}=-\frac{1}{2}\left(\cos\alpha-\cos\beta\right)\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}[/dispmath]
Predlažem da pregledate i ovaj tutorijal, u kojem je pokazano kako je, pamćenjem samo adicionih formula, moguće iz njih izvesti sve ostale trigonometrijske formule.

Takođe, preporučujem da posetite i ovu temu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7760
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4080 puta
Pohvaljen: 4133 puta

  • +1

Dokaz sinusne i kosinusne teoreme

Postod Daniel » Utorak, 29. April 2014, 14:57

Dokaz sinusne teoreme:

Posmatrajmo trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]. Centar njegove opisane kružnice obeležimo sa [inlmath]O[/inlmath]. Iz temena [inlmath]C[/inlmath] povucimo polupravu koja sadrži [inlmath]O[/inlmath]. Njen presek s opisanom kružnicom obeležimo sa [inlmath]D[/inlmath].

sinusna teorema.png
sinusna teorema.png (2.41 KiB) Pogledano 5340 puta

Ugao [inlmath]\angle CBD[/inlmath] je prav, jer je to periferni ugao nad prečnikom kružnice. Ugao [inlmath]\angle BDC[/inlmath] jednak je uglu [inlmath]\angle BAC[/inlmath] jer su to periferni uglovi nad istom tetivom (stranicom [inlmath]a[/inlmath] trougla) i s njene iste strane. Kako je [inlmath]\angle BAC=\alpha[/inlmath], tako je i [inlmath]\angle BDC=\alpha[/inlmath]. Pošto je trougao [inlmath]\triangle CBD[/inlmath] pravougli, sinus njegovog ugla pri temenu [inlmath]D[/inlmath], tj. [inlmath]\sin\alpha[/inlmath], možemo naći kao odnos naspramne katete ([inlmath]a[/inlmath]) i hipotenuze ([inlmath]2R[/inlmath]):
[dispmath]\sin\alpha=\frac{a}{2R}[/dispmath]
Opisani postupak se sasvim analogno može primeniti i za nalaženje [inlmath]\sin\beta[/inlmath] i [inlmath]\sin\gamma[/inlmath]. Bitno je samo da se poluprava koja sadrži tačku [inlmath]O[/inlmath] ne povlači iz temena onog ugla čiji sinus želimo da odredimo, već iz bilo kog od susedna dva temena. Npr. Pri određivanju [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] povukli smo polupravu iz temena [inlmath]C[/inlmath], a mogli smo i iz temena [inlmath]B[/inlmath]. Pri određivanju [inlmath]\cos\beta[/inlmath] povukli bismo polupravu ili iz temena [inlmath]A[/inlmath] ili iz temena [inlmath]C[/inlmath]. Pri određivanju [inlmath]\cos\gamma[/inlmath] povukli bismo polupravu ili iz temena [inlmath]A[/inlmath] ili iz temena [inlmath]B[/inlmath].

Ali, čak nema potrebe ni za primenom posebnih postupaka za preostala dva temena. Možemo sasvim logički zaključiti da, ako za jedan ugao trougla u opštem slučaju važi da je njegov sinus jednak količniku njemu naspramne stranice i prečnika opisane kružnice, onda to mora važiti i za svaki od preostala dva ugla trougla. Dakle,
[dispmath]\sin\beta=\frac{b}{2R},\quad\sin\gamma=\frac{c}{2R}[/dispmath]
To, zatim, možemo napisati kao
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\frac{a}{\sin\alpha}=2R\\
\frac{b}{\sin\beta}=2R\\
\frac{c}{\sin\gamma}=2R
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R}[/dispmath]


Dokaz kosinusne teoreme:

Posmatrajmo trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]. Iz temena [inlmath]D[/inlmath] povucimo visinu na stranicu [inlmath]c[/inlmath] i podnožje te visine označimo sa [inlmath]D[/inlmath]. Duž [inlmath]AD[/inlmath] označimo sa [inlmath]x[/inlmath]. Duž [inlmath]BD[/inlmath] će tada biti [inlmath]c-x[/inlmath].

kosinusna teorema.png
kosinusna teorema.png (1.32 KiB) Pogledano 5340 puta

Primenimo Pitagorinu teoremu na trouglove [inlmath]\triangle ACD[/inlmath] i [inlmath]\triangle BCD[/inlmath]:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}h^2=b^2-x^2\\
h^2=a^2-\left(c-x\right)^2
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad b^2-x^2=a^2-\left(c-x\right)^2[/dispmath][dispmath]b^2-\cancel{x^2}=a^2-c^2+2cx-\cancel{x^2}[/dispmath][dispmath]b^2=a^2-c^2+2cx\quad\left(1\right)[/dispmath][dispmath]\cos\alpha=\frac{x}{b}\quad\Rightarrow\quad x=b\cos\alpha\quad\left(2\right)[/dispmath][dispmath]\quad\left(1\right),\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad b^2=a^2-c^2+2bc\cos\alpha[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\enclose{box}{a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha}[/dispmath]
Analogno možemo zaključiti da važi i
[dispmath]\enclose{box}{b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta}[/dispmath]
kao i
[dispmath]\enclose{box}{c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7760
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4080 puta
Pohvaljen: 4133 puta

  • +1

Dokaz kosinusne teoreme preko vektora

Postod Milovan » Utorak, 29. April 2014, 15:18

Još jedan način za izvođenje kosinusne teoreme (za one koji znaju vektore):
[dispmath]a^2=\vec{BC}^2=\left(\vec{AC}-\vec{AB}\right)^2=\left|\vec{AC}\right|^2-2\vec{AC}\cdot\vec{AB}+\left|\vec{AB}\right|^2=b^2-2bc\cos\alpha+c^2[/dispmath]
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 697 puta

  • +2

Re: Izvodjenje trigonometrijskih formula

Postod Gamma » Nedelja, 24. Avgust 2014, 01:21

Evo nadje ovu temu,pa jerko da se i ja ukljucim.Imam i ja jedan dokaz za adicione formule.

Kao prvo potrebno je nacrtati ovu sliku

proof1.png
proof1.png (11.51 KiB) Pogledano 5126 puta

Preko analiticke geometrije izjednacimo dvije duzi [inlmath]\overline{PR}[/inlmath] i [inlmath]\overline{QS}[/inlmath]
[dispmath]\overline{PR}^2=(\cos(\alpha+\beta)-1)^2 +\sin^2(\alpha+\beta)[/dispmath][dispmath]=\cos^2(\alpha+\beta)-2\cos(\alpha+\beta)+1+\sin^2(\alpha+\beta)[/dispmath][dispmath]=2-2\cos(\alpha+\beta)[/dispmath]
[dispmath]\overline{QS}^2=(\cos(\alpha)-\cos(-\beta))^2+(\sin(\alpha)-\sin(-\beta))^2[/dispmath][dispmath]=\cos^2(\alpha)-2\cos(\alpha)\cos(-\beta)+\cos^2(-\beta)+\sin^2(\alpha)-2\sin(\alpha)\sin(-\beta)+\sin^2(-\beta)[/dispmath][dispmath]=2-2\cos\alpha\cos(-\beta)-2\sin\alpha\sin(-\beta)[/dispmath][dispmath]=2-2\cos\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta[/dispmath]
[dispmath]\overline{PR}=\overline{QS}[/dispmath][dispmath]\cancel 2-2\cos(\alpha+\beta)=\cancel 2-2\cos\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}[/dispmath][dispmath]\beta=-\beta[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha}[/dispmath]
Naravno na isti nacin se izvode sinus zbira i razlike.Pa preko ovoga je sve ostalo lako mislim na tangens i cotangens zbira i razlike sto je gore vec izvedeno.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +2

Re: Izvodjenje trigonometrijskih formula

Postod Trougao » Ponedeljak, 08. Avgust 2016, 13:19

Evo da i ja dopunim ovu temu jos jedan dokaz za adicione formule uz pomoc Ojlerove formule:
[dispmath]e^{ix}=\cos x+i\sin x\\
e^{i(\alpha+\beta)}=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\\
e^{i\alpha+i\beta}=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\\
e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\\
(\cos\alpha+i\sin\alpha)\cdot(\cos\beta+i\sin\beta)=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\\
\cos\alpha\cos\beta+i\cos\alpha\sin\beta+i\sin\alpha\cos\beta+i^2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)[/dispmath]
Sada izjednacimo realne i imaginarne delove:
[dispmath](\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)[/dispmath]
I na kraju dobijemo formule:
[dispmath]\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta[/dispmath]
Naravno sada da bismo dobili razliku uglova npr. [inlmath]\sin(\alpha-\beta)[/inlmath] posmatramo samo kao [inlmath]\sin\bigl(\alpha+(-\beta)\bigr)[/inlmath].
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 8 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 20. Novembar 2019, 17:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs