A evo i dokaza adicionih formula.
Sinus i kosinus zbira uglova:Nacrtajmo poluprave sa početkom u tački [inlmath]O[/inlmath] kroz proizvoljne tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Obeležimo ugao [inlmath]AOB[/inlmath] sa [inlmath]\alpha[/inlmath] i ugao [inlmath]BOC[/inlmath] sa [inlmath]\beta[/inlmath]. Uzmimo proizvoljnu tačku [inlmath]P[/inlmath] na polupravoj [inlmath]OC[/inlmath], i spustimo normale iz tačke [inlmath]P[/inlmath] na polupravu [inlmath]OA[/inlmath] i [inlmath]OB[/inlmath], dobijajući tako tačke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath]. Iz tačke [inlmath]N[/inlmath] povucimo normalu na polupravu [inlmath]OA[/inlmath] i na duž [inlmath]PM[/inlmath]. To bi trebalo da izgleda ovako nekako:
- adicione formule1.png (2.07 KiB) Pogledano 10423 puta
Pošto je [inlmath]PR\perp OA[/inlmath] i [inlmath]PN\perp OB[/inlmath], uglovi [inlmath]\angle RPN[/inlmath] i [inlmath]\alpha[/inlmath] su jednaki.
[dispmath]\sin(\alpha+\beta)=\sin\angle AOP=\frac{MP}{OP}=\frac{MR+RP}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\frac{QN}{OP}+\frac{RP}{OP}=\frac{QN}{ON}\cdot\frac{ON}{OP}+\frac{RP}{NP}\cdot\frac{NP}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/dispmath]
[dispmath]\cos(\alpha+\beta)=\cos\angle AOP=\frac{OM}{OP}=\frac{OQ-MQ}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\frac{OQ}{OP}-\frac{RN}{OP}=\frac{OQ}{ON}\cdot\frac{ON}{OP}-\frac{RN}{NP}\cdot\frac{NP}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta[/dispmath]
Sinus i kosinus razlike uglova:Nacrtajmo poluprave sa početkom u tački [inlmath]O[/inlmath], kroz proizvoljne tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Obeležimo ugao [inlmath]AOB[/inlmath] sa [inlmath]\alpha[/inlmath] i ugao [inlmath]COB[/inlmath] sa [inlmath]\beta[/inlmath]. Uzmimo proizvoljnu tačku [inlmath]P[/inlmath] na polupravoj [inlmath]OC[/inlmath], i iz nje povucimo normale na poluprave [inlmath]OA[/inlmath] i [inlmath]OB[/inlmath], dobijajući tako tačke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath]. Iz tačke [inlmath]N[/inlmath] spustimo normalu na polupravu [inlmath]OA[/inlmath], dobijajući tačku [inlmath]Q[/inlmath]. Paralelno sa polupravom [inlmath]OA[/inlmath] iz tačke [inlmath]N[/inlmath] nacrtajmo pravu, i presecimo je sa produžetkom duži [inlmath]PM[/inlmath], konstruišući tačku [inlmath]R[/inlmath]. Kako su [inlmath]RM\bot OA[/inlmath] i [inlmath]PN\bot OB[/inlmath], zaključujemo da [inlmath]\angle RPN=\alpha[/inlmath]. Konstrukcija je prikazana na slici:
- adicione formule2.png (2.13 KiB) Pogledano 10423 puta
[dispmath]\sin(\alpha-\beta)=\sin\angle AOC=\frac{MP}{OP}=\frac{MR-RP}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\frac{QN}{OP}-\frac{RP}{OP}=\frac{QN}{ON}\cdot\frac{ON}{OP}-\frac{RP}{PN}\cdot\frac{PN}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta[/dispmath]
[dispmath]\cos(\alpha-\beta)=\cos\angle AOC=\frac{OM}{OP}=\frac{OQ+MQ}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\frac{OQ}{OP}+\frac{NR}{OP}=\frac{OQ}{ON}\cdot\frac{ON}{OP}+\frac{NR}{NP}\cdot\frac{NP}{OP}=[/dispmath][dispmath]=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta[/dispmath]
Dokaz adicionih formula za tangens i kotangens možete pogledati na temi
"Trigonometrijske formule – izvođenje pomoću adicionih".
Formule za tangens i kotangens zbira i razlike se dalje izvode lako:
[dispmath]\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)}=\frac{\sin x\cos y+\cos x\sin y}{\cos x\cos y-\sin x\sin y}[/dispmath]
Podelimo brojilac i imenilac sa [inlmath]\cos x\cos y[/inlmath]:
[dispmath]\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\mathrm{tg}\:x+\mathrm{tg}\:y}{1-\mathrm{tg}\:x\mathrm{tg}\:y}[/dispmath]
Slično za razliku:
[dispmath]\mathrm{tg}(x-y)=\frac{\sin (x-y)}{\cos (x-y)}=\frac{\sin x\cos y-\cos x\sin y}{\cos x\cos y+\sin x\sin y}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}(x-y)=\frac{\mathrm{tg}\:x-\mathrm{tg}\:y}{1+\mathrm{tg}\:x\mathrm{tg}\:y}[/dispmath]
Kotangens zbira i razlike:
[dispmath]\mathrm{ctg}(x+y)=\frac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=\frac{\cos x\cos y-\sin x\sin y}{\sin x\cos y+\cos x\sin y}[/dispmath]
Podelimo brojilac i imenilac sa [inlmath]\sin x\sin y[/inlmath]:
[dispmath]\mathrm{ctg}(x+y)=\frac{\mathrm{ctg}\:x\mathrm{ctg}\:y-1}{\mathrm{ctg}\:y+\mathrm{ctg}\:x}[/dispmath]
Slično za razliku:
[dispmath]\mathrm{ctg}(x-y)=\frac{\cos (x-y)}{\sin (x-y)}=\frac{\cos x\cos y+\sin x\sin y}{\sin x\cos y-\cos x\sin y}[/dispmath][dispmath]\mathrm{ctg}(x-y)=\frac{\mathrm{ctg}\:x\mathrm{ctg}\:y+1}{\mathrm{ctg}\:y-\mathrm{ctg}\:x}[/dispmath]