Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijske formule – izvođenje pomoću adicionih

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Moderator: Corba248

Trigonometrijske formule – izvođenje pomoću adicionih

Postod Milovan » Petak, 25. April 2014, 00:16

U trigonometriji postoji dosta formula kojih je sveukupno previše da bi se sve pamtile. Pri tom, gotovo sve se mogu relativno lako izvesti iz adicionih formula. Jedine dve formule koje su vam potrebne jesu formule za sinus i kosinus zbira, kao i razumevanje prirode trigonometrijskih funkcija (definicije istih, trigonometrijska kružnica).

To su:
[dispmath]\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y[/dispmath][dispmath]\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y[/dispmath]
Formule za sinus i kosinus razlike slede neposredno iz toga:
[dispmath]\sin (x-y)=\sin [x+(-y)]=\sin x\cos (-y)+\cos x\sin (-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y[/dispmath]
Slično, za kosinus:
[dispmath]\cos (x-y)=\cos [x+(-y)]=\cos x\cos (-y)-\sin x\sin (-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y[/dispmath]
Ovde je iskorišćena činjenica da je kosinus parna, a sinus neparna funkcija. Ove formule se pak mogu dati kao takve, a da se parnost i neparnost sinusa i kosinusa dokaže upravo preko adicionih formula.
[dispmath]\cos (-x)=\cos (0-x)=\cos 0\cos x+\sin 0\sin x=\cos x[/dispmath][dispmath]\sin (-x)=\sin (0-x)=\sin 0\cos x-\cos 0\sin x=-\sin x[/dispmath]
Pošto su prethodne adicione formule za sinus i kosinus poznate, formule za tangens i kotangens zbira i razlike se dalje izvode lako:
[dispmath]\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)}=\frac{\sin x\cos y+\cos x\sin y}{\cos x\cos y-\sin x\sin y}[/dispmath]
Ako se brojilac i imenilac podele sa [inlmath]\cos x\cos y[/inlmath]:
[dispmath]\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\mathrm{tg}\:x+\mathrm{tg}\:y}{1-\mathrm{tg}\:x\mathrm{tg}\:y}[/dispmath]
Slično za razliku:
[dispmath]\mathrm{tg}(x-y)=\frac{\sin (x-y)}{\cos (x-y)}=\frac{\sin x\cos y-\cos x\sin y}{\cos x\cos y+\sin x\sin y}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}(x-y)=\frac{\mathrm{tg}\:x-\mathrm{tg}\:y}{1+\mathrm{tg}\:x\mathrm{tg}\:y}[/dispmath]
Formule za kotangens zbira i razlike izvode se potpuno analogno:
[dispmath]\mathrm{ctg}(x+y)=\frac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=\frac{\cos x\cos y-\sin x\sin y}{\sin x\cos y+\cos x\sin y}[/dispmath]
Deobom sa [inlmath]\sin x\sin y[/inlmath]:
[dispmath]\mathrm{ctg}(x+y)=\frac{\mathrm{ctg}\:x\mathrm{ctg}\:y-1}{\mathrm{ctg}\:y+\mathrm{ctg}\:x}[/dispmath]
Slično za razliku:
[dispmath]\mathrm{ctg}(x-y)=\frac{\cos (x-y)}{\sin (x-y)}=\frac{\cos x\cos y+\sin x\sin y}{\sin x\cos y-\cos x\sin y}[/dispmath][dispmath]\mathrm{ctg}(x-y)=\frac{\mathrm{ctg}\:x\mathrm{ctg}\:y+1}{\mathrm{ctg}\:y-\mathrm{ctg}\:x}[/dispmath]
Formule za sinus i kosinus dvostrukog ugla lako se izvode upravo preko adicionih formula:
[dispmath]\sin 2x=\sin (x+x)=\sin x\cos x+\sin x\cos x=2\sin x\cos x[/dispmath][dispmath]\cos 2x=\cos (x+x)=\cos x\cos x-\sin x\sin x=\cos^2x-\sin^2x[/dispmath]
Formule za trostruki, četvorostruki... ugao se takođe daju izvesti preko adicionih formula ako se iskoriste prethodno dobijeni rezultati.
[dispmath]\sin 3x=\sin (2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x[/dispmath][dispmath]\cos 3x=\cos (2x+x)=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x[/dispmath]
Ostaje da se uvrste prethodno dobijeni izrazi za [inlmath]\sin 2x[/inlmath] i [inlmath]\cos 2x[/inlmath].
Za četvorostruki ugao:
[dispmath]\sin 4x=\sin (2x+2x)=\sin 2x\cos 2x+\cos 2x\sin 2x=2\sin 2x\cos 2x[/dispmath][dispmath]\cos 4x=\cos (2x+2x)=\cos 2x\cos 2x-\sin 2x\sin 2x=\cos^2 2x-\sin^2 2x[/dispmath]
Slično se može naći [inlmath]\sin 5x=\sin (4x+x)=\sin (3x+2x)[/inlmath], tako što se iskoriste prethodno izvedeni obrasci.
Tako za [inlmath]\sin 6x=\sin (4x+2x)=\sin (3x+3x)=\sin (5x+x)[/inlmath]
Itd.

Formule tipa [inlmath]\sin (x+k\pi)[/inlmath], [inlmath]\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath] i sl. mogu se pamtiti na razne načine. Recimo, imamo formulu [inlmath]\sin (2\pi+x)=\sin x[/inlmath]. Možemo do nje doći na više načina:
1) sa trigonometrijske kružnice možemo zaključiti da se nakon punog obrta od [inlmath]2\pi[/inlmath] radijana vraćamo u polazni položaj
2) znajući za osobinu periodičnosti sinusne funkcije
3) putem adicione formule
[dispmath]\sin (x+2\pi)=\sin x\cos 2\pi+\cos x\sin 2\pi=\sin x[/dispmath]
Tako se, recimo, mogu izvesti i formule poput:
[dispmath]\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos\frac{\pi}{2}\cos x+\sin\frac{\pi}{2}\sin x=\sin x[/dispmath]
Vrednosti trigonometrijskih funkcija raznih uglova moguće je odrediti pomoću adicionih formula ako su poznate bar neke od vrednosti. Tako, na primer, dovoljno je znati vrednosti sinusa i kosinusa za ugao od [inlmath]30[/inlmath] i [inlmath]90[/inlmath] stepeni da bi se našla vrednost odgovarajućih funkcija za sledeće uglove:
[dispmath]\sin 60^\circ=\sin\left(90^\circ-30^\circ\right)=\sin 90^\circ\cos 30^\circ-\cos 90^\circ\sin 30^\circ[/dispmath][dispmath]\sin 120^\circ=\sin\left(60^\circ+60^\circ\right)=\sin\left(90^\circ+30^\circ\right)[/dispmath][dispmath]\sin 150^\circ=\sin\left(120^\circ+30^\circ\right)=\sin\left(90^\circ+60^\circ\right)[/dispmath][dispmath]\sin 180^\circ=\sin\left(90^\circ+90^\circ\right)[/dispmath][dispmath]\sin 210^\circ=\sin\left(180^\circ+30^\circ\right)[/dispmath]
Ostaje da se primene adicione formule i iskoriste poznate vrednosti.
Sve ovo, uz iste zbirove, važi i za druge trigonometrijske funkcije.

Adicione formule mogu poslužiti za izvođenje formula za proizvod sinusa i kosinusa.

Naime, kako je:
[dispmath]\cos (x+y)+\cos (x-y)=(\cos x\cos y-\sin x\sin y)+(\cos x\cos y+\sin x\sin y)=2\cos x\cos y[/dispmath][dispmath]\cos x\cos y=\frac{1}{2}\left[\cos (x+y)+\cos(x-y)\right][/dispmath]
Slično:
[dispmath]\cos (x+y)-\cos (x-y)=(\cos x\cos y-\sin x\sin y)-(\cos x\cos y+\sin x\sin y)=-2\sin x\sin y[/dispmath][dispmath]\sin x\sin y=-\frac{1}{2}\left[\cos (x+y)-\cos (x-y)\right][/dispmath]
Najzad, iz:
[dispmath]\sin (x+y)+\sin (x-y)=(\sin x\cos y+\cos x\sin y)+(\sin x\cos y-\cos x\sin y)=2\sin x\cos y[/dispmath][dispmath]\sin x\cos y=\frac{1}{2}\left[\sin (x+y)+\sin (x-y)\right][/dispmath]
Formule za proizvod tangensa i kotangensa se dalje trivijalno izvode deobom prva dva izvedena obrasca.

Ako se ovo prethodno tretira kao međurezultat – dalje se mogu dobiti i formule za zbir sinusa ili kosinusa:
Neka je [inlmath]x+y=a[/inlmath] i [inlmath]x-y=b[/inlmath]
Rešimo jednačinu po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath].
[inlmath]x=\frac{a+b}{2}[/inlmath] i [inlmath]y=\frac{a-b}{2}[/inlmath]
Vraćanjem u prethodne obrasce se onda dobijaju pomenute formule.

Formule za polovinu ugla se mogu izvesti na sledeći način.
Za kosinus:
[dispmath]\sin\frac{x}{2}=\sin\left(x-\frac{x}{2}\right)=\sin x\cos\frac{x}{2}-\cos x\sin\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\sin\frac{x}{2}(1+\cos x)=\sin x\cos\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\cancel{\sin\frac{x}{2}}(1+\cos x)=2\cancel{\sin\frac{x}{2}}\cos^2\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}[/dispmath]
Za sinus:
[dispmath]\cos\frac{x}{2}=\cos\left(x-\frac{x}{2}\right)=\cos x\cos\frac{x}{2}+\sin x\sin\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\cos\frac{x}{2}-\cos x\cos\frac{x}{2}=\sin x\sin\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\cos\frac{x}{2}(1-\cos x)=\sin x\sin\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\cancel{\cos\frac{x}{2}}(1-\cos x)=2\sin^2\frac{x}{2}\cancel{\cos\frac{x}{2}}[/dispmath][dispmath]1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}[/dispmath]
Osnovna trigonometrijska jednakost [dispmath]\sin^2x+\cos^2x=1[/dispmath] sledi direktno iz definicija i Pitagorine teoreme. Međutim, možemo do nje doći i polazeći od adicionih formula, a ako prethodne formule tretiramo kao međurezultat. Sabiranjem:
[dispmath]\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}+\frac{1+\cos x}{2}=1[/dispmath]
Drugi način da se ovo dokaže pomoću adiconih formula je:
[dispmath]1=\cos 0=\cos\left(x-x\right)=\cos x\cos\left(-x\right)-\sin x\sin\left(-x\right)=\cos x\cos x+\sin x\sin x=\cos^2x+\sin^2x\\
\Rightarrow\quad\sin^2x+\cos^2x=1[/dispmath]
Radi jednostavnosti, u startu se pošlo od dve adicione formule. Međutim, ni drugu nije neophodno koristiti. Naime, već je pokazano da važi [inlmath]\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x[/inlmath]. Da je onda i [inlmath]\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x[/inlmath] se lako pokazuje smenom [inlmath]\frac{\pi}{2}-x=t[/inlmath], pa je [inlmath]x=\frac{\pi}{2}-t[/inlmath], i onda je [inlmath]\sin t=\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)[/inlmath].

Iz formule za sinus zbira izvedena je formula za sinus razlike. Stoga, uz ove prethodne formule možemo i nju iskoristiti za izvođenje obrasca za kosinus zbira.
[dispmath]\cos (x+y)=\sin\left[\frac{\pi}{2}-(x+y)\right]=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x-y\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cos y-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\sin y=\cos x\cos y-\sin x\sin y[/dispmath]
Prema tome, od celog brda formula kojih ima u trigonometriji u suštini je dovoljna jedna adiciona – za sinus zbira. Ona vam, uz malo razumevanja i kreativnosti, može poslužiti da izvedete sve ostalo. :D
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 697 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 8 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 20. Novembar 2019, 17:26 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs