Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Moderator: Corba248

Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

Postod zagormaster » Nedelja, 26. Novembar 2017, 16:53

Prijemni ispit MATF – 28. jun 2017.
19. zadatak


Pet učenika treba rasporediti na pet stolica u jednom redu tako da Pera ne sedi na mestima koja su na krajevima reda, a Žika ne sedi na mestu koje je tačno u sredini. Na koliko načina je to moguće učiniti?

Slabo mi ide kombinatorika, ako bi mogli neke trikove i cake za lakse razumevanje bio bih zahvalan :D
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 27. Novembar 2017, 06:19, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dopuna naziva teme; dodavanje linka
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

Postod Subject » Nedelja, 26. Novembar 2017, 17:13

Nisam ni ja neki ljubitelj kombinatorike tj. nisam je ni radio nesto mnogo pravo da ti kazem, ali evo kako bih ja uradio ovo. Dal je tacno ne znam, ali eto dajem ti ideju.
Nacrtao sam [inlmath]5[/inlmath] stolica i oznacio ih brojevima od [inlmath]1-5[/inlmath], zatim sam sebi sa strane napisao da Pera ne sme da sedne na [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath], a Zika na [inlmath]3[/inlmath], i onda sam saltao redom. Postavio sam Ziku da sedi na broj [inlmath]1[/inlmath] a Peru na broj [inlmath]2[/inlmath], ostala mesta popunjuju druga deca. Zatim sam premestio Peru na broj [inlmath]3[/inlmath], a Zika je preso na broj [inlmath]2[/inlmath]. To je druga kombinacija. Pa kako kaze da Zika ne moze na broj [inlmath]3[/inlmath], postavio sam Ziku na broj [inlmath]5[/inlmath] a Peru na broj [inlmath]4[/inlmath]. I to je jos jedna kombinacija. I tako sam radio dok nisam stigao do [inlmath]5[/inlmath] kombinacija. Ti proveri dal mozda ima jos neka eventualno. Mada nisam siguran dal je tacno sto sam radio, al eto ti ideje. ;)
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"The right man in the wrong place can make all the difference in the world." - G.Man
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 32
Lokacija: Nis
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 17 puta

Re: Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

Postod Subject » Nedelja, 26. Novembar 2017, 17:34

Mada sad kad sam bolje pogledao zadatak shvatam da ima jos puno kombinacija. Ovaj metod koji sam upravo izneo nije bas pogodan... :facepalm:
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"The right man in the wrong place can make all the difference in the world." - G.Man
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 32
Lokacija: Nis
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 17 puta

Re: Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

Postod zagormaster » Nedelja, 26. Novembar 2017, 18:04

mislim da to nije pogodan nacin, s obzirom da je resenje [inlmath]60[/inlmath] kombinacija :D
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

Postod Onomatopeja » Nedelja, 26. Novembar 2017, 21:43

Radi lakseg pracenja, neka su stolice numerisane brojevima od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]5[/inlmath]. Prvo gledamo sta se desava sa Perom. Ako Pera sedne na stolicu broj [inlmath]3[/inlmath], onda ostalo cetvoro moze kako god zeli (tj. na [inlmath]4!=24[/inlmath] nacina). Ako pak Pera sedne na stolicu broj [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath], onda za Ziku ostaje tri mogucnosti, a za ostalo troje [inlmath]3![/inlmath] mogucnosti, te je ukupan broj mogucnosti u ovom slucaju jednak [inlmath]2\cdot3\cdot6=24[/inlmath]. I onda saberemo sve i dobijemo [inlmath]60[/inlmath].
 
Postovi: 558
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 526 puta

  • +1

Re: Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

Postod Daniel » Ponedeljak, 27. Novembar 2017, 06:26

Moguće je uraditi i metodom uključenja i isključenja – nije jednostavnije od Onomatopejinog načina, čak naprotiv, ali nije zgoreg (ukoliko vreme dopušta) uraditi zadatak na više od jednog načina, pa ako se dobije isto rešenje, možemo biti relativno sigurni u tačnost istog.

  • Prvo odredimo ukupan broj načina na koji [inlmath]5[/inlmath] učenika možemo rasporediti na [inlmath]5[/inlmath] stolica – to je, naravno, [inlmath]5![/inlmath].
  • Zatim od tog broja oduzmemo broj onih nedozvoljenih slučajeva kod kojih Pera sedi na krajevima reda (na [inlmath]1.[/inlmath] ili na [inlmath]5.[/inlmath] mestu) – takvih slučajeva ima [inlmath]2\cdot4![/inlmath] (Peru možemo smestiti na [inlmath]2[/inlmath] načina, a zatim ostale na [inlmath]4![/inlmath] načina.
  • Zatim oduzmemo broj onih nedozvoljenih slučajeva kod kojih Žika sedi u sredini. To je zapravo broj načina na koji možemo rasporediti ostala [inlmath]4[/inlmath] učenika (nakon što je Žika zauzeo mesto u sredini), a to je [inlmath]4![/inlmath].
  • Pošto smo broj slučajeva da je Pera na krajevima reda a Žika u sredini oduzimali dvaput (jednom kad smo oduzeli slučajeve kad je Pera na krajevima reda i drugi put kad smo oduzeli slučajeve kad je Žika u sredini), sad je potrebno, kako bismo to anulirali, dodati broj slučajeva kada je Pera na krajevima reda i Žika u sredini. Takvih slučajeva ima [inlmath]2\cdot3![/inlmath] (Žika je već smešten u sredinu, Peru možemo smestiti na dva načina, a preostala [inlmath]3[/inlmath] učenika možemo rasporediti na [inlmath]3![/inlmath] načina).
Dakle,
[dispmath]5!-2\cdot4!-4!+2\cdot3!=60[/dispmath]
@zagormaster, budući da si nov na forumu, uz dobrodošlicu, zamolio bih te da pročitaš Pravilnik, radi budućih postova. Dopunio sam naziv teme tako da upućuje na ono o čemu se u zadatku radi (tačka 9. Pravilnika).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6717
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3516 puta
Pohvaljen: 3699 puta

Re: Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

Postod zagormaster » Ponedeljak, 27. Novembar 2017, 13:28

Hvala puno! izvinjavam se zbog nepostovanja pravilnika, obraticu paznju sledeci put.
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 8 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 16. Decembar 2017, 17:51 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs