Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Broj clanova u razvoju binoma

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Moderator: Corba248

Broj clanova u razvoju binoma

Postod diopo » Petak, 22. Jun 2018, 20:22

Ne znam gde da postavim ovakvo pitanje, ali bih rekao da je ovo najpogodnije mesto za to.
Naime, nemam nijedan konkretan zadatak, vec hocu da pitam za sve zadatke tipa: U razvoju [inlmath](a+b)^n[/inlmath] ima koliko iracionalnih (racionalnih, onih koji pripadaju skupu [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath], ...)

Dakle ja odredim koji sve brojevi mogu da budu [inlmath]k[/inlmath], ali sam nesiguran kad odredjujem koliko tacno clanova ima. Recimo neka je [inlmath]n=2018[/inlmath], a [inlmath]k\in\left\{0,10,20,30,\ldots\right\}[/inlmath]. Kako sad tu treba razmisljati? Ja radim ovako: U razvoju ima [inlmath]2019[/inlmath] clanova.
[dispmath](2019-1):10=201(8)[/dispmath] oduzimam jedan jer odbijam onu [inlmath]0[/inlmath].
[dispmath]201+1=202[/dispmath] sada dodajem jedan jer vracam nulu.

Da li je ovo korektno? E sad, meni je ovako pokazano, ali objasnjenje nisam dobio, pa sam morao sam da skapiram i ne znam da li sam dobro razumeo. Dakle, nula se oduzima da bi se moglo deliti, tj da bi se namestilo da broj [inlmath]10[/inlmath] bude tacno [inlmath]10.[/inlmath] clan u nizu.

Ako je sve ovo tacno, sta bi radio recimo za slucaj [inlmath]n=2018[/inlmath] i [inlmath]k\in\left\{0,5,15,25,35,\ldots\right\}\;[/inlmath]?
Da li bi, prateci onaj gore postupak moglo da se radi ovako: [inlmath](2019-6):10=201(3)+2\;[/inlmath]?
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 45
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 15 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Broj clanova u razvoju binoma

Postod DzoniMaler » Subota, 23. Jun 2018, 00:08

Koristi formulu za clan razvoja.
[dispmath]T_{k+1}={n\choose k}a^{n-k}\;b^k[/dispmath] Sada ako ti se traze racionalni clanovi gledas da [inlmath]n-k\in\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath]. Uglavnom ce ti ispred ovih izraza biti razlomak, tipa ako je u zadatku dat [inlmath]\sqrt a[/inlmath] kao clan binoma.

Sada za broj clanova, kao sto si rekao na primer ako bi imali da je [inlmath]n=2015[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] svaki deseti clan, odnosno na primer kad bi imali [inlmath]\frac{1}{5}(n-k)\in\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{2}k\in\mathbb{N}[/inlmath], ja bih podelio [inlmath]n[/inlmath] sa [inlmath]k[/inlmath] i celom broju dodao jos jedan zbog slucaja kada je [inlmath]k=0[/inlmath].

U slucaju da je [inlmath]n=2015[/inlmath] za [inlmath]k[/inlmath] imamo [inlmath]2015/10+1=202[/inlmath] vrednosti. Sada posto clanova imamo [inlmath]n+1[/inlmath] od tog broja cemo oduzeti broj vrednosti [inlmath]k[/inlmath].

I meni je sve ovo bilo malo konfuzno u pocetku, nadam se da sam bar malo pomogao. Nakon sto sam uradio nekoliko primera meni se sve razjasnilo i sad znam da uradim vecinu zadataka iz ove oblasti.
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 14 puta

Re: Broj clanova u razvoju binoma

Postod Daniel » Utorak, 26. Jun 2018, 15:42

diopo je napisao:Ako je sve ovo tacno, sta bi radio recimo za slucaj [inlmath]n=2018[/inlmath] i [inlmath]k\in\left\{0,5,15,25,35,\ldots\right\}\;[/inlmath]?
Da li bi, prateci onaj gore postupak moglo da se radi ovako: [inlmath](2019-6):10=201(3)+2\;[/inlmath]?

Ja se kod ovakvih problema ne bih držao nekih šablona koji mogu samo da zbune. Preporučujem ti da radiš na bilo koji način koji ti je jasan i logičan. Konkretno kod ovog primera, lično bih radio tako što bih prvo ignorisao nulu, zatim odredio broj onih brojeva iz intervala koji su deljivi sa [inlmath]5[/inlmath] (njih je [inlmath]403[/inlmath]), od tog broja bih zatim oduzeo broj onih brojeva koji su deljivi sa [inlmath]10[/inlmath] (njih je [inlmath]201[/inlmath]), time bih dobio [inlmath]202[/inlmath] i sad bih na to još dodao [inlmath]1[/inlmath] (zbog one nule koju sam u startu ignorisao).

DzoniMaler je napisao:[dispmath]T_{k+1}={n\choose k}a^{n-k}\;b^k[/dispmath] Sada ako ti se traze racionalni clanovi gledas da [inlmath]n-k\in\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath].

Ovo je malo neprecizno napisano – naravno da će uvek važiti [inlmath]n-k\in\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath] jer su i [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] prirodni brojevi (doduše, da budem i ja sasvim precizan, [inlmath]n-k[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] mogu biti još i nula). Bilo bi korektnije reći da, ako imamo razvoj [inlmath]\left(\sqrt[p]a+\sqrt[q]b\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^\frac{n-k}{p}b^\frac{k}{q}[/inlmath], gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] prosti brojevi (kakve isključivo i daju u ovakvim zadacima), tada, da bi [inlmath]k[/inlmath]-ti član razvoja bio racionalan broj, treba da važi [inlmath]\frac{n-k}{p}\in\mathbb{N}_0[/inlmath] i [inlmath]\frac{k}{q}\in\mathbb{N}_0[/inlmath]. Zapravo, u nastavku si otprilike to i napisao (pokazano na konkretnom primeru), nego me samo „žuljao“ ovaj citirani deo.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7324
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3808 puta
Pohvaljen: 3958 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 9 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 15. Novembar 2018, 22:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs