Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Odrediti šestocifrene brojeve koje vole Miljan i Mladen

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Odrediti šestocifrene brojeve koje vole Miljan i Mladen

Postod Frank » Utorak, 12. Januar 2021, 18:46

Pozdrav! Evo još jednog zadatka koji nisam uspeo da uradim (nadam se da nisam previše naporan :D ):

Miljan voli šestocifrene brojeve kod kojih je zbir prve tri cifre jednak zbiru poslednje tri, a Mladen one kod kojih je zbir cifara na neparnim mestima jednak zbiru cifara na parnim mestima. Koliko ima šestocifrenih brojeva koje vole i Miljan i Mladen? [inlmath](6150)[/inlmath]

Način na koji sam pokušao da rešim zadatak: Neka je traženi šestocifreni broj [inlmath]abcdef[/inlmath]. Po uslovu zadatka [inlmath]a+b+c=d+e+f[/inlmath], [inlmath]a+c+e=b+d+f[/inlmath]. Oduzimanjem ovih jednačina dobija se
[dispmath]e=b\quad a+c=d+f\quad a\ne0[/dispmath] Jedino još što se može zaključiti je to da i leva i desna strana jednačine [inlmath]a+c=d+f[/inlmath] pripadaju intervalu [inlmath][1,18][/inlmath].
Dalje nemam ideju, pa bi svaka smernica dobro došla. Hvala unapred!
Frank   ONLINE
 
Postovi: 391
Zahvalio se: 201 puta
Pohvaljen: 246 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Odrediti šestocifrene brojeve koje vole Miljan i Mladen

Postod Daniel » Četvrtak, 14. Januar 2021, 14:50

Za [inlmath]b=e[/inlmath] postoji, naravno, [inlmath]10[/inlmath] mogućnosti. To je lakši deo posla. E sad to treba pomnožiti onim nešto zanimljivijim delom posla. Zbir [inlmath]a+c[/inlmath] (iliti zbir [inlmath]d+f[/inlmath], to je isto) može, kako si uočio, biti od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]18[/inlmath]. Razdvojimo to na slučajeve. Neka je [inlmath]a+b=k[/inlmath].
  • [inlmath]k\in[1,9][/inlmath]
    [inlmath]a[/inlmath] može uzeti vrednosti od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]k[/inlmath] (a [inlmath]b[/inlmath], samim tim, od [inlmath]k-1[/inlmath] do [inlmath]0[/inlmath]), dok [inlmath]d[/inlmath] može uzeti vrednosti od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]k[/inlmath] (a [inlmath]f[/inlmath], samim tim, od [inlmath]k[/inlmath] do [inlmath]0[/inlmath]). To je ukupno [inlmath]k(k+1)[/inlmath] mogućnosti.
    Kada [inlmath]k[/inlmath] ide od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath], broj svih slučajeva za [inlmath]a+b\in[1,9][/inlmath] iznosi [inlmath]\sum\limits_{k=1}^9k(k+1)=\sum\limits_{k=1}^9k^2+\sum\limits_{k=1}^9k[/inlmath].
  • [inlmath]k\in[10,18][/inlmath]
    [inlmath]a[/inlmath] može uzeti vrednosti od [inlmath]k-9[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath] (a [inlmath]b[/inlmath], samim tim, od [inlmath]9[/inlmath] do [inlmath]k-9[/inlmath]), a [inlmath]d[/inlmath] isto tako može uzeti vrednosti od [inlmath]k-9[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath] (a [inlmath]f[/inlmath], samim tim, od [inlmath]9[/inlmath] do [inlmath]k-9[/inlmath]). To je ukupno [inlmath]\bigl(9-(k-9)+1\bigr)\bigl(9-(k-9)+1\bigr)=(19-k)^2[/inlmath] mogućnosti.
    Kada [inlmath]k[/inlmath] ide od [inlmath]10[/inlmath] do [inlmath]18[/inlmath], broj svih slučajeva za [inlmath]a+b\in[10,18][/inlmath] iznosi [inlmath]\sum\limits_{k=10}^{18}(19-k)^2[/inlmath], a to je zapravo isto što i [inlmath]\sum\limits_{k=1}^9k^2[/inlmath].
Dakle, ukupno za prvi i za drugi slučaj ima [inlmath]2\sum\limits_{k=1}^9k^2+\sum\limits_{k=1}^9k[/inlmath] mogućnosti.

E sad, sve ove sume se mogu i „ručno“ izračunati, sabiranjem (nema previše posla), a mogu se i primeniti formule [inlmath]\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{n}{2}(n+1)[/inlmath] i [inlmath]\sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)[/inlmath].

Na kraju, broj ovih mogućnosti pomnožiš brojem slučajeva [inlmath]b=e[/inlmath], a to je, kako smo rekli, [inlmath]10[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8521
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4567 puta
Pohvaljen: 4546 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Frank i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 16. Januar 2021, 15:44 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs