Ovaj konkretan slučaj je malko jednostavniji od opšteg slučaja, jer smo ovde u izrazu [inlmath]\displaystyle\frac{2015-k}{5}[/inlmath] (koji treba da bude ceo broj) imali da je [inlmath]2015[/inlmath] već deljivo sa [inlmath]5[/inlmath], pa se odmah dobije da je, kao što je i bole napisao, [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]5[/inlmath]. Da smo kojim slučajem imali da [inlmath]\displaystyle\frac{2016-k}{5}[/inlmath] treba da bude ceo broj (daleko verovatniji slučaj na prijemnom ove godine, budući da je broj [inlmath]2015[/inlmath] već... zastareo), tada bismo morali primeniti univerzalniji postupak:
[dispmath]\frac{2016-k}{5}=p\;\left(p\in\mathbb{Z}\right)\quad\Rightarrow\quad2016-k=5p\quad\Rightarrow\\
\Rightarrow\quad k=2016-5p=2015-5p+1=5\cdot403-5p+1=5\underbrace{\left(403-p\right)}_{r,\;r\in\mathbb{Z}}+1=5r+1[/dispmath]
Prema tome, [inlmath]k[/inlmath] tada ne bi bilo deljivo sa [inlmath]5[/inlmath], već bi bilo oblika [inlmath]5r+1[/inlmath], a to su brojevi [inlmath]1,6,11,16,21,\ldots[/inlmath] Naravno, pored ovog uslova, moralo bi biti deljivo i sa [inlmath]3[/inlmath], kao što je već pokazano. To jest, moralo bi biti oblika [inlmath]k=3m,\;m\in\mathbb{Z}[/inlmath], pa bismo onda imali [inlmath]3m=5r+1[/inlmath], a odatle:
[dispmath]m=\frac{5r+1}{3}=\frac{6r-\left(r-1\right)}{3}=2r-\frac{r-1}{3}[/dispmath]
Pošto [inlmath]m\in\mathbb{Z}[/inlmath], znači da mora biti i [inlmath]\displaystyle\frac{r-1}{3}\in\mathbb{Z}[/inlmath], tj. da [inlmath]r-1[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], što možemo zapisati kao [inlmath]r-1=3s,\;s\in\mathbb{Z}[/inlmath], tj. [inlmath]r=3s+1[/inlmath]. Zamenimo to u [inlmath]k[/inlmath]:
[dispmath]k=5r+1=5\left(3s+1\right)+1\\
\Rightarrow\quad\enclose{box}{k=15s+6}[/dispmath]
Uz ovaj uslov, obezbeđeno je da će i [inlmath]\displaystyle\frac{2016-k}{5}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\frac{k}{3}[/inlmath] biti celi brojevi.
Naravno, pošto mora da važi [inlmath]0\le k\le n[/inlmath], tj. [inlmath]0\le k\le2016[/inlmath], vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] koje će dati racionalne članove u razvoju biće [inlmath]6,21,36,\ldots,[/inlmath] pa do najveće vrednosti koja je [inlmath]\le2016[/inlmath], a to je u ovom slučaju [inlmath]2016[/inlmath].
Ilija je napisao:EDIT: Mislim da si se ti vodio logikom koju je @kristinaaa pokazala u
ovoj temi, mada nisam siguran.
A kao sto se vidi, ona u opstem slucaju ne dovodi do tacnog resenja...jesam li u pravu?
Ja sve do dana današnjeg ne mogu reći da sam sasvim skontao kristiniiin postupak, pa samim tim ne mogu garantovati ni da bi se primenom tog postupka uvek došlo do tačnog rešenja.