Ja bih isto radio kao Nađa, mislim da je tako najbrže. Znači, nađemo broj permutacija u kojima prvo [inlmath]OA[/inlmath], a zatim [inlmath]AO[/inlmath], posmatramo kao jedan element (što će reći, ukupno [inlmath]5[/inlmath] elemenata), a zatim to oduzmemo od broja ukupnih permutacija.
E sad, ako ova tema predstavlja poziv da smislimo najrazličitije načine rešavanja ovog zadatka (a ja upravo i volim kombinatoriku zato što se jedan isti problem može rešiti na gomilu načina), evo i od mene jednog, ne tako brzog i jednostavnog kao prethodna dva, al' čisto kao neka fiskultura za vijuge. A i kao još jedna potvrda dobijenog rezultata, koji iznosi [inlmath]480[/inlmath].
Posmatrao bih malo opštiji slučaj, da imamo [inlmath]k[/inlmath] slova u kojem dva slova (pretpostavimo bez umanjenja opštosti da su to slova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]) ne smeju biti jedno pored drugog (odatle će se uvrštavanjem [inlmath]k=6[/inlmath] u rezultat lako dobiti rezultat i za naš konkretan slučaj). Posmatraćemo prvo slučajeve u kojima se [inlmath]A[/inlmath] pojavljuje pre [inlmath]B[/inlmath]. Tada se [inlmath]A[/inlmath] sme naći na pozicijama [inlmath]1,2,3,\ldots,k-2.[/inlmath] Na [inlmath](k-1).[/inlmath] poziciji se ne sme naći, jer bi onda [inlmath]B[/inlmath] moralo biti na [inlmath]k[/inlmath]-toj poziciji pa bi [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] bili jedno pored drugog.
- Ako se [inlmath]A[/inlmath] nađe na [inlmath]1.[/inlmath] poziciji, za [inlmath]B[/inlmath] preostaje neka od pozicija [inlmath]3,4,\ldots,k[/inlmath] (ukupno [inlmath]k-2[/inlmath] pozicija).
- Ako se [inlmath]A[/inlmath] nađe na [inlmath]2.[/inlmath] poziciji, za [inlmath]B[/inlmath] preostaje neka od pozicija [inlmath]4,5,\ldots,k[/inlmath] (ukupno [inlmath]k-3[/inlmath] pozicija).
- Ako se [inlmath]A[/inlmath] nađe na [inlmath]3.[/inlmath] poziciji, za [inlmath]B[/inlmath] preostaje neka od pozicija [inlmath]5,6,\ldots,k[/inlmath] (ukupno [inlmath]k-4[/inlmath] pozicija).
[inlmath]\vdots[/inlmath] - Ako se [inlmath]A[/inlmath] nađe na [inlmath](k-3).[/inlmath] poziciji, za [inlmath]B[/inlmath] preostaje neka od pozicija [inlmath]k-1[/inlmath] ili [inlmath]k[/inlmath] (ukupno [inlmath]2[/inlmath] pozicije).
- Ako se [inlmath]A[/inlmath] nađe na [inlmath](k-2).[/inlmath] poziciji, za [inlmath]B[/inlmath] preostaje pozicija [inlmath]k[/inlmath] (ukupno [inlmath]1[/inlmath] pozicija).
Odatle sledi ukupan broj mogućnosti raspoređivanja slova [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] (takvih da se [inlmath]A[/inlmath] pojavljuje pre [inlmath]B[/inlmath]), a koji iznosi
[dispmath]1+2+3+\cdots+(k-3)+(k-2)[/dispmath] što je suma aritmetičkog niza i ona iznosi
[dispmath]\frac{k-2}{2}(1+k-2)=\frac{(k-1)(k-2)}{2}[/dispmath] Ako sada isti postupak primenimo i na slučajeve u kojima se prvo pojavljuje [inlmath]B[/inlmath] pa zatim [inlmath]A[/inlmath], dobićemo, sasvim logično, isti broj slučajeva, tako da će ukupan broj mogućnosti raspoređivanja [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], bez obzira na njihov međusobni redosled, iznositi [inlmath](k-1)(k-2)[/inlmath].
Ostalo je još da to pomnožimo brojem mogućnosti raspoređivanja preostalih [inlmath]k-2[/inlmath] elemenata, a to je [inlmath](k-2)![/inlmath] (permutacije bez ponavljanja).
Dakle, ukupan broj ovakvih slučajeva iznosi
[dispmath](k-1)(k-2)(k-2)!=(k-2)(k-1)![/dispmath] Uvrštavanjem [inlmath]k=6[/inlmath] dobijamo i rešenje za naš slučaj,
[dispmath]4\cdot5!=480[/dispmath]