Stranica 1 od 1

Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

PostPoslato: Nedelja, 26. Novembar 2017, 16:53
od zagormaster
Prijemni ispit MATF – 28. jun 2017.
19. zadatak


Pet učenika treba rasporediti na pet stolica u jednom redu tako da Pera ne sedi na mestima koja su na krajevima reda, a Žika ne sedi na mestu koje je tačno u sredini. Na koliko načina je to moguće učiniti?

Slabo mi ide kombinatorika, ako bi mogli neke trikove i cake za lakse razumevanje bio bih zahvalan :D

Re: Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

PostPoslato: Nedelja, 26. Novembar 2017, 17:13
od Subject
Nisam ni ja neki ljubitelj kombinatorike tj. nisam je ni radio nesto mnogo pravo da ti kazem, ali evo kako bih ja uradio ovo. Dal je tacno ne znam, ali eto dajem ti ideju.
Nacrtao sam [inlmath]5[/inlmath] stolica i oznacio ih brojevima od [inlmath]1-5[/inlmath], zatim sam sebi sa strane napisao da Pera ne sme da sedne na [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath], a Zika na [inlmath]3[/inlmath], i onda sam saltao redom. Postavio sam Ziku da sedi na broj [inlmath]1[/inlmath] a Peru na broj [inlmath]2[/inlmath], ostala mesta popunjuju druga deca. Zatim sam premestio Peru na broj [inlmath]3[/inlmath], a Zika je preso na broj [inlmath]2[/inlmath]. To je druga kombinacija. Pa kako kaze da Zika ne moze na broj [inlmath]3[/inlmath], postavio sam Ziku na broj [inlmath]5[/inlmath] a Peru na broj [inlmath]4[/inlmath]. I to je jos jedna kombinacija. I tako sam radio dok nisam stigao do [inlmath]5[/inlmath] kombinacija. Ti proveri dal mozda ima jos neka eventualno. Mada nisam siguran dal je tacno sto sam radio, al eto ti ideje. ;)

Re: Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

PostPoslato: Nedelja, 26. Novembar 2017, 17:34
od Subject
Mada sad kad sam bolje pogledao zadatak shvatam da ima jos puno kombinacija. Ovaj metod koji sam upravo izneo nije bas pogodan... :facepalm:

Re: Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

PostPoslato: Nedelja, 26. Novembar 2017, 18:04
od zagormaster
mislim da to nije pogodan nacin, s obzirom da je resenje [inlmath]60[/inlmath] kombinacija :D

Re: Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

PostPoslato: Nedelja, 26. Novembar 2017, 21:43
od Onomatopeja
Radi lakseg pracenja, neka su stolice numerisane brojevima od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]5[/inlmath]. Prvo gledamo sta se desava sa Perom. Ako Pera sedne na stolicu broj [inlmath]3[/inlmath], onda ostalo cetvoro moze kako god zeli (tj. na [inlmath]4!=24[/inlmath] nacina). Ako pak Pera sedne na stolicu broj [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath], onda za Ziku ostaje tri mogucnosti, a za ostalo troje [inlmath]3![/inlmath] mogucnosti, te je ukupan broj mogucnosti u ovom slucaju jednak [inlmath]2\cdot3\cdot6=24[/inlmath]. I onda saberemo sve i dobijemo [inlmath]60[/inlmath].

Re: Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

PostPoslato: Ponedeljak, 27. Novembar 2017, 06:26
od Daniel
Moguće je uraditi i metodom uključenja i isključenja – nije jednostavnije od Onomatopejinog načina, čak naprotiv, ali nije zgoreg (ukoliko vreme dopušta) uraditi zadatak na više od jednog načina, pa ako se dobije isto rešenje, možemo biti relativno sigurni u tačnost istog.

  • Prvo odredimo ukupan broj načina na koji [inlmath]5[/inlmath] učenika možemo rasporediti na [inlmath]5[/inlmath] stolica – to je, naravno, [inlmath]5![/inlmath].
  • Zatim od tog broja oduzmemo broj onih nedozvoljenih slučajeva kod kojih Pera sedi na krajevima reda (na [inlmath]1.[/inlmath] ili na [inlmath]5.[/inlmath] mestu) – takvih slučajeva ima [inlmath]2\cdot4![/inlmath] (Peru možemo smestiti na [inlmath]2[/inlmath] načina, a zatim ostale na [inlmath]4![/inlmath] načina.
  • Zatim oduzmemo broj onih nedozvoljenih slučajeva kod kojih Žika sedi u sredini. To je zapravo broj načina na koji možemo rasporediti ostala [inlmath]4[/inlmath] učenika (nakon što je Žika zauzeo mesto u sredini), a to je [inlmath]4![/inlmath].
  • Pošto smo broj slučajeva da je Pera na krajevima reda a Žika u sredini oduzimali dvaput (jednom kad smo oduzeli slučajeve kad je Pera na krajevima reda i drugi put kad smo oduzeli slučajeve kad je Žika u sredini), sad je potrebno, kako bismo to anulirali, dodati broj slučajeva kada je Pera na krajevima reda i Žika u sredini. Takvih slučajeva ima [inlmath]2\cdot3![/inlmath] (Žika je već smešten u sredinu, Peru možemo smestiti na dva načina, a preostala [inlmath]3[/inlmath] učenika možemo rasporediti na [inlmath]3![/inlmath] načina).
Dakle,
[dispmath]5!-2\cdot4!-4!+2\cdot3!=60[/dispmath]
@zagormaster, budući da si nov na forumu, uz dobrodošlicu, zamolio bih te da pročitaš Pravilnik, radi budućih postova. Dopunio sam naziv teme tako da upućuje na ono o čemu se u zadatku radi (tačka 9. Pravilnika).

Re: Raspoređivanje učenika na stolice – MATF prijemni, 2017.

PostPoslato: Ponedeljak, 27. Novembar 2017, 13:28
od zagormaster
Hvala puno! izvinjavam se zbog nepostovanja pravilnika, obraticu paznju sledeci put.